Wie berechnet man einen beliebigen Kern der Matrix?

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3 Antworten

Ja, du kannst x1 ungleich 0 oder x2 ungleich 0 annehmen, da diese triviale Lösung immer funktioniert. Wenn du dann eine Lösung x (außer Nullvektor) findest, dann siehst du, dass λx eine Lösung ist, denn Aλx = λ (Ax) = λ * 0 = 0.

Dementsprechend kannst du nur eine endliche Anzahl linear-unabhängiger Lösungen finden, {x1,...,xn}, und Span(x1,...,xn) ist dann der Kern, der natürlich nicht nur eine beliebige Menge ist, sondern ein ganzer Unterraum.

Ein kleines Kriterium, das dafür sorgt, dass du oft garnicht viel rechnen musst:

Ist A eine Matrix, so ist ker(A) genau dann ein nichttrivialer Unterraum, wenn det(A) = 0.

Denn wenn det(A) =/= 0, dann ist A invertierbar, also gibt es kein Urbild von 0 außer der 0 selbst. Die Rückrichtung funktioniert ähnlich, bemerke, dass lineare Injektionen auf endlichdimensionalen Räumen bereits Bijektionen sind.

LG

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Kommentar von AnonyJS
03.07.2016, 22:12

Also ich habe nochmal nachgerechnet und gedacht. Ich habe herausgefunden das es immer mit dem LGS auf nur 2 Möglichkeiten hinausläuft, also die Lösungsmenge von einem homogenen. Entweder es steht in der letzten Zeile:

(an,1 ... 0 l 0 ) Somit existieren für xn=t unendlich viele Lösungen und für 2x2 habe ich herausgefunden das dann immer gilt das x1=-t ist und x2=t.

(an,1 ... an,n l 0 ) Somit existiert nur eine Lösung, nämlich für alle 0. Für 2x2 weiß ich sicher das x2=0 und x1=0 sind wenn der Fall auftritt.

Gilt das nun für jede Matrix?

Nein denke ich, da ich im Internet eine 3x3 Matrix gesehen habe welche mit einem Vektor multipliziert wird deren Ergebnis der Nullvektor ist.

Also hängt die "Lösungsmenge" von der Dimension ab? Sind es dann bei 3x3 auch nur eine bestimmte Anzahl?

0

In deinem Beispiel ist 0 tatsächlich das einzige Element des Kerns.

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Die Lösungsmenge für Ax=0 (A: Matrix, x:Vektor) ist abhängig von der Dimension der Matrix:

Dim(A)=0 (-> "keine freien Variablen"): die Lösungsmenge ist nur der Nullvektor

Dim(A)=1: Lösungsmenge ist eine Gerade durch den Ursprung

Dim(A)=2: Lösungsmenge ist eine Ebene durch den Ursprung

...

Das kannst du dir so vorstellen:
Der Nullraum ist die Menge aller Vektoren, die senkrecht zu allen Zeilen von A stehen. Wenn du nun eine 3x3 Matrix mit Dimension=0 hast, sind 3 verschiedene Vektoren gegeben: es gibt keinen Vektor, der Senkrecht auf diesen drei stehen kann. Hast du hingegen Dimension=1, also nur zwei verschiedene Vektoren, gibt es genau einen, der Senkrecht auf diese zwei steht etc.

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Kommentar von Australia23
03.07.2016, 21:24

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Mit "verschieden" meine ich linear unabhängig (sry für die ungenaue Ausdrucksweise)

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