Frage von AnonyJS, 78

Wie berechnet man einen beliebigen Kern der Matrix?

Der Kern einer Matrix A ist eine Menge von Vektoren die multipliziert mit A der Nullvektor sind. Der Spaltenvektor (x1,...,xn)^T ist dann ein Kern von A wenn die Multiplikation der Nullvektor mit m Einträgen ist.

$:= Element von

R^n:= n-dimensonaler Spaltenraum

bzw: Kern(A)=(x$R^n l Ax=0)

Da Matrix und Nullvektor gegeben sind dachte ich mir man kann den Spaltenvektor auch berechnen.

Den Vektor x nannte ich: (x1,x2)^T (hier transponiert) und daraus habe ich mir ein Gleichungssystem gebastelt:

l 2x1+3x2=0 ll x1+2x2=0

Dann habe ich die Koeffizientenmatrix gebildet, die erweiterte brauch man ja eh nicht und habe nach x1 und x2 versucht aufzulösen. Für x2=0 und x1=0 bekomme ich raus. Der Rechner ebenfalls.

Aber nach meinen Überlegungen müsste es doch unendlich viele Vektoren geben und nicht nur der Nullvektor, also A0=0 ist ja klar. Es existiert also mindestens ein Vektor.

Wie berechne ich denn nun einen beliebigen?

Antwort
von Roach5, 46

Ja, du kannst x1 ungleich 0 oder x2 ungleich 0 annehmen, da diese triviale Lösung immer funktioniert. Wenn du dann eine Lösung x (außer Nullvektor) findest, dann siehst du, dass λx eine Lösung ist, denn Aλx = λ (Ax) = λ * 0 = 0.

Dementsprechend kannst du nur eine endliche Anzahl linear-unabhängiger Lösungen finden, {x1,...,xn}, und Span(x1,...,xn) ist dann der Kern, der natürlich nicht nur eine beliebige Menge ist, sondern ein ganzer Unterraum.

Ein kleines Kriterium, das dafür sorgt, dass du oft garnicht viel rechnen musst:

Ist A eine Matrix, so ist ker(A) genau dann ein nichttrivialer Unterraum, wenn det(A) = 0.

Denn wenn det(A) =/= 0, dann ist A invertierbar, also gibt es kein Urbild von 0 außer der 0 selbst. Die Rückrichtung funktioniert ähnlich, bemerke, dass lineare Injektionen auf endlichdimensionalen Räumen bereits Bijektionen sind.

LG

Kommentar von AnonyJS ,

Also ich habe nochmal nachgerechnet und gedacht. Ich habe herausgefunden das es immer mit dem LGS auf nur 2 Möglichkeiten hinausläuft, also die Lösungsmenge von einem homogenen. Entweder es steht in der letzten Zeile:

(an,1 ... 0 l 0 ) Somit existieren für xn=t unendlich viele Lösungen und für 2x2 habe ich herausgefunden das dann immer gilt das x1=-t ist und x2=t.

(an,1 ... an,n l 0 ) Somit existiert nur eine Lösung, nämlich für alle 0. Für 2x2 weiß ich sicher das x2=0 und x1=0 sind wenn der Fall auftritt.

Gilt das nun für jede Matrix?

Nein denke ich, da ich im Internet eine 3x3 Matrix gesehen habe welche mit einem Vektor multipliziert wird deren Ergebnis der Nullvektor ist.

Also hängt die "Lösungsmenge" von der Dimension ab? Sind es dann bei 3x3 auch nur eine bestimmte Anzahl?

Kommentar von Roach5 ,

Du kannst keine genaue Angabe machen, da es immer auf die Matrix ankommt. Die Matrix, die in allen Einträgen 0 hat, hat natürlich "vollen" Kern, während die Identitätsmatrix, die in der Diagonalen 1 hat, trivialen Kern hat, von daher ist in jeder Dimension alles möglich.

Würdest du bitte die Matrix reinposten, dann kann ich dein Ergebnis überprüfen.

Wenn du gesagt hast, dass x1 = -t und x2 = t, dann setzt du z.B. t = 1 und hast einen Kernvektor, nämlich (-1,1), dessen Span ist ein Vektorraum, der im Kern liegt. Wenn er (bis auf Skalierung) der einzige Vektor ist, für den Ax = 0, dann ist ker(f) = Span((-1,1)). Dein Ergebnis kannst du wieder prüfen mit der Determinante, denn wenn der Kern nicht leer ist (wie deine Vermutung aussagt), dann muss die Determinante auch 0 sein.

LG

Kommentar von AnonyJS ,

Ich meine Matrizen mit diesem Aufbau (2x2) und denke wäre ähnlich für 3x3:

( p p )

( q q )

p=p; q=q

Der Kern ist anscheinend immer:

(-t t)^T und damit unendlich viele Lösungen.

dt(A)=0 ist bei solch einem Aufbau der Fall.

Vielen Dank für Deine Korrektur, das es eben auf die Matrix ankommt. ist ja klar das eine Nullmatrix dann "vollen" Kern hat, aber unendlich viele Lösungen.

Kommentar von Roach5 ,

Genau. Da (-t,t) Lösungen sind, ist Span((-1,1)) schonmal im kern Drin. Da du im R² arbeitest, ist der Kern also entweder eindimensional oder zweidimensional. Wir füllen jetzt also (-1,1) zu einer Basis auf, nämlich mit (1,1) und sehen, dass dieser Vektor nicht unbedingt 0 ist [außer spezielle Wahlen von p und q], also ist ker(f) = Span((-1,1)).

Kommentar von AnonyJS ,

Aber die Lösungsmenge eines homogenen LGS lässt doch nur 2 Möglichkeiten zu? Das habe ich nicht ganz verstanden.

Von einer Nullmatrix ist die Lösungsmenge gerade wieder für xn=0 und somit unendlich viele Lösungen mit xn=+oder- t.

Von einer Einheitsmatrix sind die Lösungen ja einfach xn=0 also für alle. Damit ist der Vektor (0 0)^T.

Antwort
von Australia23, 42

Die Lösungsmenge für Ax=0 (A: Matrix, x:Vektor) ist abhängig von der Dimension der Matrix:

Dim(A)=0 (-> "keine freien Variablen"): die Lösungsmenge ist nur der Nullvektor

Dim(A)=1: Lösungsmenge ist eine Gerade durch den Ursprung

Dim(A)=2: Lösungsmenge ist eine Ebene durch den Ursprung

...

Das kannst du dir so vorstellen:
Der Nullraum ist die Menge aller Vektoren, die senkrecht zu allen Zeilen von A stehen. Wenn du nun eine 3x3 Matrix mit Dimension=0 hast, sind 3 verschiedene Vektoren gegeben: es gibt keinen Vektor, der Senkrecht auf diesen drei stehen kann. Hast du hingegen Dimension=1, also nur zwei verschiedene Vektoren, gibt es genau einen, der Senkrecht auf diese zwei steht etc.

Kommentar von Australia23 ,

*

Mit "verschieden" meine ich linear unabhängig (sry für die ungenaue Ausdrucksweise)

Kommentar von Australia23 ,

Noch zur Berechnung des Kerns einer Matrix:

Bsp. dim(A)=0:

(1 0 0) = 0
(0 2 0) = 0
(0 0 3) = 0

-> x1=x2=x3=0
=> ker(A)=[0;0;0]

Bsp. dim(A)=1:

(2 0 2) = 0
(4 1 4) = 0
(0 1 0) = 0

-> Zeile 1: x1 = -x3
-> Zeile 2 -> linear abhängig
-> Zeile 3: x2 = 0
=> ker(A)=span([1;0;-1]) (oder ein Vielfaches dieses Vektors)

Bsp. dim(A)=2:

(1 0 1) = 0
(2 0 2) = 0
(3 0 3) = 0

-> Zeile 1: x1 = -x3
-> Zeile 2 -> linear abhängig
-> Zeile 3 -> linear abhängig
=> ker(A)=span([1,0,-1],[0,1,0])
Da du hier keine Angaben zu x2 hast, ist alles dafür möglich, was du z.B. mit dem span oben ausdrücken kannst. 

...

Kommentar von AnonyJS ,

Kannst Du mir bitte "span" erklären, leider ist dieser mir nicht geläufig. Außerdem was meinst Du mit Dim(A) genau, also ist das die Dimension von der Matrix A? Beim ersten ist aber die Dimension doch nicht 0 sondern 3?

Kommentar von Australia23 ,

(v1, v2, v3 = Vektoren; a, b, c reelle Zahlen)

span(v1, v2, v3) = alle möglichen Linearkombinationen dieser drei Vektoren = a*v1 + b*v3 + c*v3

span(v1) = a*v1 -> wäre also einfach eine Gerade durch den Ursprung
span(v1,v2) = a*v1 + b*v2 -> eine Ebene durch den Ursprung

Oh ups, das war nicht ganz korrekt, es sollte dim (ker A) heissen:

Die Dimension des Kerns der Matrix A (nicht die Dimension der Matrix selbst, das gibt es so nicht).  Die Dimension des Kerns gibt an, wie viele "freie Variabeln", also wie viele Nullzeilen die Matrix besitzt, wenn du sie noch umformen würdest...

Also z.B.:
(1 0 1) = 0         (1 0 1)
(2 0 2) = 0  -->   (0 0 0)
(3 0 3) = 0         (0 0 0)
=> 2 Nullzeilen: dim ker(A) = 2

Der Rang einer Matrix gibt hingegen an, wie viele "nicht-Nullzeilen" du hast... Also: dim ker(A) = n - rang A (n=Anzahl Spalten)

Im oberen Bsp. wäre also rang(A)=1

Sry für den Fehler, sonst ist jetzt aber alles klar?

Kommentar von AnonyJS ,

Also span steht für "Spalte"?  Also das es sich um ein Spaltenvektor handelt, so ähnlich wie wenn ich geschrieben habe: "
(-t t)^T"? Oder für alle möglichen Linearkombinationen?

Außerdem verstehe ich nicht weshalb span(v1)= a*v1 eine Zeile durch den Ursprung wäre. Wie zeichne ich denn dann so etwas ein?

Sonst ist alles klar.

Kommentar von Australia23 ,

Nein, wie gesagt, steht es für alle möglichen Linearkombinationen.

Die Notation, die ich für den Spaltenvektor verwendet habe, war folgende: (a b c)^T = [a;b;c]

Dachte das erschliesst sich, aber wahr wohl doch nicht ganz klar...

Bsp. (k1, k2 reelle Zahlen): span([1;2;3],[0;1;0]) = k1*[1;2;3] + k2*[0;1;0]

Also wären z.B. folgendes Lösungen: [1;2;3], [1;3;3], [1;1;3], [2;4;6], [-2;-4;-6] etc. (natürlich auch möglich mit nicht ganzen Zahlen)

Zur 2. Frage:

Bsp.: span([1;2;3]) = k*[1;2;3]

[1;2;3] oder (1 2 3)^T ist einen Vektor einer bestimmten Länge. Dieser geht durch den Ursprung (ich nehme an ihr hattet mal Vektorgeometrie in der Schule)? Da du diesen Vektor nun k*mal nehmen kannst, ist die Länge nicht mehr definiert, sondern "unendlich" in beide Richtungen (k kann ja auch negativ sein). Somit hast du eine Gerade durch den Ursprung. Aufzeichnen könntest du das in einem passenden Koordinatensystem (also je nach dem 2D oder 3D, hier wäre es 3D, in höheren Dimensionen geht das dann logischerweise nicht mehr so gut ^^).

Bei wurde das aber nie verlangt, dass wir so etwas aufzeichnen oder so. Es dient mehr zum Verständnis... Was wohl eher wichtig ist, ist dass du verstehst, dass es verschiedene Arten von "unendliche viele Lösungen" gibt.

Kommentar von AnonyJS ,

Problem ist wahrscheinlich das ich mir das mehr oder minder selbst beibringe, zurzeit gehe ich in die achte Klasse. Dadurch hakst dann bei einigen Dingen natürlich. ^^

Ich denke das ich alles verstanden habe, vielen Dank. :-)

Kommentar von Australia23 ,

Achso ^^ Na dann noch viel Spass mit der Mathe :)

Super, gern geschehen :)

Antwort
von iokii, 33

In deinem Beispiel ist 0 tatsächlich das einzige Element des Kerns.

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