Frage von deepxpalexblue, 139

Wie berechnet man die Wurzel aus einer Zahl ohne Taschenrechner?

Mein Mathelehrer hat gesagt, dass es da einen sehr komplizierten Weg gibt, der ihm sein Professor an der Uni beigebracht hat. Leider wollte er es unserer Klasse nicht zeigen (nicht, dass ich es verstehen würde, aber trotzdem;D) und er hat gesagt, dass das nicht im Lehrplan drin ist. Wie geht jetzt dieser komplizierte Weg?

P.S.: Mir ist klar, dass ich das nicht verstehen würde, aber man hat ja viele Jahre Bedenkzeit im Leben....

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 83

Es gibt ein Verfahren, wenigstens Quadratwurzeln schriftlich zu ziehen. Es ähnelt der schriftlichen Division, arbeitet aber mit einer binomischen Formel. Es ist etwas umständlich, aber gar nicht so furchtbar langwierig, weil man Ziffer um Ziffer ermittelt, solange man Lust hat.
Und es ist auch begreifbar.

http://www.tinohempel.de/info/mathe/wurzel/wurzel.htm

Übersichtlicher mit einer vierstelligen Zahl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches\_Wurzelziehen

Da werden auch noch höhere Wurzeln beschrieben, aber das ist kaum noch nachvollziehbar, außer wenn jemand ganz schrecklich viel Zeit hat.

Aber schnell mal eine Quadratwurzel ziehen, das hat doch was!

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 34

Hatten wir hier schon mehrfach:

https://www.gutefrage.net/frage/algorithmus-zur-berechnung-der-wurzel-von-2

dort habe ich 7 verschiedene Algorithmen gezeigt.

Mit dem Iterationsrechner kann man die ersten 4 vorrechnen lassen und die Iterationsanzahl (Anzahl der Schritte für gewünschte Genauigkeit) vergleichen.

Jede Funktion lässt sich mit den 4 Grundrechenarten berechnen (also mit "Stift & Papier") -> nur die Anzahl der Teil-Schritte ist unterschiedlich.

Wenn 4 Nachkommastellen reichen und der Schätzwert relativ gut ist, kommt das Newton-Verfahren mit 2 Schritten aus:

Habe mal das Beispiel 15 so angepasst, dass man die Zwischenergebnisse in den 3 Spalten angezeigt bekommt:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Na=2;d=2;b=1.5;IM=2;//2te%20Wurz...]=c=a/d/@Pb,d-1);aD[i]=b=b+(@Ci]=c-b/d);@N@Ab/d-c)%3C4e-3@N0@N1@Nc=exp(log(a)/d);d=c-b;

Die Abschlußrechnung ist nur zum Vergleich, wie gut das Ergebnis mit dem 15 Stellen genauem Ergebnis übereinstimmt (Differenz in c )

Hinweise: 

a) pow(b,d-1) = b^(d-1) wenn wie hier 2. Wurzel also d=2, vereinfacht sich das zu b^(2-1)=b 

mit dem Schätzwert 1.5 wird c=a/d/1.5 zu 0.6666666666

was man in Spalte aB[] sieht.

b) https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren

ist nur ein Spezialfall des Newton-Verfahrens

Bei Bedarf kann ich Dir jedes der 6 Anderen Algorithmen genauer vorrechnen.

Antwort
von MrGTheBest, 64

Eine Möglichkeit wäre das Newtonverfahren bei dem du durch die Tangenten einer Funktion näherungsweise die Nullstellen dieser bestimmen kannst. Dies würdest du dann mit einer Funktion machen die ihre Nullstelle bei der gesuchten Wurzel hat und könntest auf eine Lösung kommen. Dauert aber unter Umständen seeeehr lang. Falls es dich interessiert kann ich dir das Video von simple maths dazu empfehlen :)

Kommentar von PWolff ,

Das Newton-Verfahren im Fall von Quadratwurzeln ist schon seit der Antike bekannt und nennt sich Heron-Verfahren. (Dass es ein Spezialfall eines allgemeinen Nullstellennäherungsverfahrens ist, wurde allerdings erst zur Zeit Newtons erkannt.)

Kommentar von MrGTheBest ,

Und das Ergebnis bleibt das Gleiche, also warum die Verbesserung? 🙈 Aber ich werds mir merken wenns dir so wichtig ist :)

Kommentar von ralphdieter ,

Das ist doch keine Verbesserung, sondern nur eine Ergänzung.

Andere bedanken sich für sowas.

Kommentar von Schachpapa ,

Er hätte sein Wissen auch als eigene Antwort schreiben können um 10-15 Punkte zu erhaschen. So hat er deine Antwort um eine Kleinigkeit ergänzt. Damit muss man leben, ohne dass das Ego darunter leidet, sonst wird aus MfGTheBest schnell MfGThe2ndBest ;-)

Kommentar von MrGTheBest ,

Ok, dann hab ich deine Intention wohl falsch verstanden. Sorry 🙈

Antwort
von kaichlakamagla, 45

Hi.. Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe .. Wenn du jetzt zB die Wurzel aus 9 ausrechnen sollst musst du die Quadratzahlen durchgehen und somit wäre das 3 .. Denn 3² ist 9 .. Hoffe habe es richtig verstanden was du meintest 

Kommentar von Rubezahl2000 ,

So was Einfaches wie Wurzel 9 ist hier nicht gemeint ;-)
Wie wär's mit Wurzel 7 ?

Kommentar von deepxpalexblue ,

Ja, ich meinte jetzt eigentlich Zahlen, deren Wurzel keine ganze Zahl ist, wie 2 oder 6 oder so. :)

Antwort
von sweatluxi, 36

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