Frage von HosenmatzXXL, 36

Wie berechnet man die Masse eines Himmelskörpers?

Hey Leute, ich schreibe morgen eine Physik-Klausur und komme bei einer Sache nicht klar. Es geht darum, dass man wissen muss, wie man die Masse eines bestimmten Himmelskörpers berechnet. Also ich habe das 3. Keplersche Gesetz dafür genommen: a³/T² = G* m/4π², wobei a der Abstand des Körpers zur Sonne ist. Diese Gleichung habe ich nach m umgestellt und dabei komme ich auf m = a³/T² * 4π² / G, aber das 3. Keplersche Gesetz lautet ja eigentlich a1³/ T1² = a2³ / T2². Ich soll nun durch den Kraftansatz ermitteln, wie ich auf der anderen Seite das a2³ / T2³ zu G* m/4π² umgestellt habe, aber ich weiß nicht wie man da auf diese Gleichung kommt, kann mir da jemand bitte behilflich sein?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Schule, 5

Hallo,

Du setzt F=m*a

F ist die Gravitationskraft, die zwischen zwei Körpern wirkt:

F=G*M*m/r², wobei G die Gravitationskonstante und r der Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten der Körper ist. M ist die gesuchte Masse des Körpers, der umkreist wird (z.B. die Sonne), m ist die Masse des Satelliten (eines Planeten, Asteroiden, Kometen, was auch immer).

a, die Beschleunigung, berechnet sich nach der Formel a=v²/r

v ist die Geschwindigkeit des umkreisenden Körpers, mithin 2*π*r/T, T ist die Umlaufzeit. Längenangaben in m, Zeitangaben in s, Masse in kg

v²=4π²r²/T² 

Also:

G*M*m/r²=m*4π²r²/(T²*r)

m hebt sich auf beiden Seiten auf, r² und r kann man auf der rechten Seite kürzen:

G*M/r²=4π²r/T²

Umstellen nach M:

M=4π²r³/(T²*G)

Berechnen wir beispielsweise die Masse der Sonne, indem wir die Werte des Abstandes Erde - Sonne und die Umlaufzeit der Erde eingeben.

r=1,496*10^11 m

T=365,25*24*3600 s

4π²*(1,496*10^11)³/(G*(365,25*24*3600)²)=1,989*10^30 kg, was dem Wert, der in den Lehrbüchern angegeben ist, entspricht.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von HosenmatzXXL ,

Vielen Dank!

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von Wechselfreund, 12

Gravitationskraft des Zentralgestirns mit Zentripetalkraft eines umlaufenden Körpers gleichsetzen.

Kommentar von HosenmatzXXL ,

Also FG = FR und dann? m*v² / r = G* m*M/r² ... Wenn ich das tue, habe ich nach der Kürzung nur noch v² = G* m*M/r da stehen und ab hier weiß ich leider nicht weiter... 

Kommentar von Wechselfreund ,

m·r·"omega"² =G·m·M/r²

m kürzen, omega ist 2Pi / T

Kommentar von HosenmatzXXL ,

Ich habe da jetzt m*4π² / r*T² = G* m*M/r² zu stehen. Das r und das m habe ich gekürzt, so dass da nur noch 4π² / T² = G* M/r steht. Das habe ich dann habe ich *r und /4π² gerechnet, so dass ich zum Schluss r*T² = G* m/4π² zu stehen habe... Die rechte Seite habe ich ja dann so, wie ich sie wollte, aber auf der linken Seite passt das r*T² ja nicht zu r³/T², wie mache ich das nun?

Kommentar von Wechselfreund ,

Links steht r im Zähler!

mal r², durch G

Kommentar von HosenmatzXXL ,

Ich habe den Fehler gefunden: v = 2Pi*r / T und nicht nur 2Pi /T :) Trotzdem danke :)

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