Wie berechnet man die Funktion cos(2x+3)+cos(x-5)=0?

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5 Antworten

Der Rechenweg mit Hilfe von Additionstheoremen. Folgende drei Theoreme kommen in Frage:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

cos(2x) = 1 -2*(sin(x))^2

Die Anwendung dieser Additionstheoreme auf deine Gleichung liefert:

(1-2*sin^2 (x)*cos(3) + sin(x)*sin(5)=(2*sin(x)-sin(5))*cos(x)

Würden nur noch sin(x) Terme vorkommen, dann hätten wir ein leichtes Spiel. Der cos(x) Term macht uns das Leben schwer. Auch der muss irgendwie durch einen sin(x) Term ersetzt werden. Mit Hilfe der Beziehung

cos^2 = 1 - sin^2(x)  gelingt das auch. Dazu wird die Gleichung vorbereitend quadriert.

[(1-2*sin^2 (x))*cos(3) + sin(x)*sin(5)]^2 = [(2*sin(x)-sin(5))]^2 * cos^2(x)

cos^2(x) ersetzen

[(1-2*sin^2 (x))*cos(3) + sin(x)*sin(5)]^2 = [(2*sin(x)-sin(5))]^2 * [1-sin^2(x)]

Jetzt wird die Substitution u = sin(x) angesetzt

[(1-2*u^2)*cos(3) + u*sin(5)]^2 = [2*u-sin(5)]^2 * [1-u^2]

Das nun fällige Ausmultiplizieren der eckigen Klammern führt unweigerlich zu einer Gleichung 4. Grades.

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Diese Aufgabe ist starker Toback. Habe es mit zwei Additionstheoremen versucht und bin dabei auf eine Gleichung 4. Grades gestossen. Die ist zwar grundsätzlich analytisch lösbar; aber eigentlich schon unzumutbar kompliziert. - Für mich ist das ein Fall für die numerische Mathematik.

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Kommentar von tai1134
22.02.2016, 21:00

Dürfte ich auch fragen wie der Rechenweg lauten würde. xD

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bin zwar kein genie in mathe aber erstmal klammern auflösen . kannst du das nicht in den taschenrechner eingeben und ebend mit cosinus berechnen?

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Kommentar von SchakKlusoh
22.02.2016, 20:14

Arrrgggghhhh. Da weiß jemand offensichtlich nicht, was Funktionen sind.

Bloß nicht!

Umstellen und arccos anwenden.

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Bin heute echt nicht so auf der Höhe, hab gerade meinen eigenen Beitrag kommentiert :D Also hier nochmal:

So vielleicht?

cos(2x+3) = - cos(x-5)

<=> sin(2x+3+pi/2) = - sin(x-5+pi/2)

<=> sin(2x+3+pi/2) = sin(5-x-pi/2)

<=> 2x+3+pi/2 = 5-x-pi/2

<=> x = (2-pi)/3

Habs nicht nochmal nachgerechnet, aber der Weg sollte vielleicht funktionieren. Wobei man auch hier sicherlich noch mehrere Fälle hat, da ja Kreisfunktion und so.

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Kommentar von tai1134
22.02.2016, 21:02

Dürfte man das nicht auch mit dem Cos berechnen oder ist man gezwungen diese Funktion in den Sin zu umwandeln?

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EDIT: War quatsch, dachte da stünde Minus :D

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Kommentar von tai1134
22.02.2016, 20:22

Danke vielmals!!!!

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Kommentar von SchakKlusoh
22.02.2016, 20:23

Fall 0,5) cos(2x+3) = -cos(x-5)

jetzt erklär mal, wie Du auf Fall 1) kommst

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Kommentar von CompSup
22.02.2016, 20:41

So vielleicht?

cos(2x+3) = - cos(x-5)

<=> sin(2x+3+pi/2) = - sin(x-5+pi/2)

<=> sin(2x+3+pi/2) = sin(5-x-pi/2)

<=> 2x+3+pi/2 = 5-x-pi/2

<=> x = (2-pi)/3

Habs nicht nochmal nachgerechnet, aber der Weg sollte vielleicht funktionieren. Wobei man auch hier sicherlich noch mehrere Fälle hat, da ja Kreisfunktion und so.

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