Frage von fihdireborn, 195

Wie berechnet man die den durchmesser von diesen kreisen?

Wie berechnet man die durchmesser von den kleinen Kreisen wen der durchmesser vom großen Kreis 100mm ist?

Ich habe schon so weit rausgefunden das wenn man die mittelpunkte der drei kreise verbindet ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Falls mir jemand die ganze prozedure zur Berechnung geben könnte, wäre ich sehr dankbar.

-Fihdi

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 96

Hallo,

der Durchmesser der kleinen Kreise berechnet sich nach der Formel:

(Durchmesser großer Kreis mal sin (60°))/(1+sin (60°))

Die Herleitung ist ein bißchen umständlich zu erklären.

Der Ansatz ist das rechtwinklige Dreieck, das sich ergibt, wenn Du den Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Berührpunkt zweier kleiner Kreise und mit dem Mittelpunkt eines kleinen Kreises verbindest, die diesen Berührpunkt gemeinsam haben.

Der Winkel Mittelpunkt großer Kreis - Berührpunkt - Mittelpunkt kleiner Kreis ist ein rechter Winkel, weil die beiden Katheten auf der Tangente und auf einem dazu rechtwinkligen Radius eines kleinen Kreises liegen.

Überlege, wie sich die Radien des großen und des kleinen Kreises verhalten und daß der Radius des großen Kreises die Summe aus dem Radius eines kleinen Kreises und dem Radius desselben kleinen Kreises multipliziert mit sin (60°) ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Herzlichen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von seifreundlich2, 89

Mach dir mal eine Skizze. So schwer ist das gar nicht. Skizzier oder konstruier das gleichseitige Dreieck und du wirst feststellen, dass die Aussenwinkel des Dreiecks an allen Ecken 60° betragen, denn die Aussenwinkelsumme im Dreieck muss gleich 180° sein.

Jetzt kannst du die Distanz vom Mittelpunkt von einem der drei Kreise zum Mittelpunkt des Dreiecks unter Ausnutzung der Winkelhalbierenen oder der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten bestimmen.

Am einfachsten geht das mittels trigonometrischer Überlegungen, also mit sin(α) und cos(α).

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