Frage von Melfyce, 48

Wie berechnet man die Bewegung eines körpers um ein massezentrum auf einer ellipse im R3?

Hallo, ich versuche ein Modell unseres Sonnensystems in einer Simulation umzusetzen mit korrekten relativen Abständen zueinander und korrekten Masseverhältnissen unter Anwendung der physikalischen Gesetze. Als 2D-Simulation funktioniert auch alles bereits allerdings ist die Erweiterung um eine Dimension doch schwieriger als gedacht. Hauptsächlich aufgrund der Bahnneigungen der Planeten die halt leider doch nicht alle in einer Ebene die Sonne umkreisen, besonders Merkur und Mars.

Wie setzt man diese Bahnneigung im 3D-Modell also um? Es kommt ja noch die z-Koordinate dazu. An der Bahngeschwindigkeit wird sich nichts ändern. Stehe da etwas auf dem Schlauch.

Bitte um Hilfe

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von weckmannu, 40

Auswendig aufzuschreiben ist mir zu schwierig. Deshalb nur eine grobe Beschreibung des Verfahrens:

a)zweidimensionale Ellipsengleichung in sphärischen Koordinaten, also mit den Koordinaten r-Radius und phi-Winkel -- ist einfacher als in kartesischen Koordinaten.

b) Transformation des Koordinaten Systems für die Neigung der Bahn mit Einführung eines zweiten Winkels als 3. Dimension.

Kommentar von Melfyce ,

wie sähe es mit kartesischen Koordinaten aus, habe nämlich im 2D-Modell damit gearbeitet. Wäre es damit möglich?

Kommentar von weckmannu ,

Du müßtest erst mal erklären, was du mit 'gearbeitet' meinst. Dann kann man erklären, wie man dein Verfahren erweitern könnte.

So gibt es nur die vage Antwort: kippe die Ellipse durch Koordinatentransformation.

Kommentar von Melfyce ,

Ich habe ein 2D-modell erstellt mit der Sonne im Zentrum. Das Programm mit dem ich arbeite operiert in einem kartesischen Koordinatensystem, sprich die astronomischen Objekte haben alle x und y Koordinaten. Zu Beginn hatte ich noch ein Polarkoordinatensystem welches ich dann aufs kartesische Koordinatensystem umgerechnet habe um die x und y Koordinaten der Objekte zu bestimmen. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung der Planeten um die Sonne wurden berechnet anhand https://de.wikipedia.org/wiki/Bahngeschwindigkeit_(Astronomie) sowie durch Anwendung der Formel für die Gravitationsbeschleunigung die sich aus Newtons Gravitationsgesetzen ableitet, bestimmt. 
Im Raum gibt es ja kein oben und unten weswegen die Bahnneigung der Planeten immer von einer Referenzebene abhängig ist. In meinem geplanten 3D-Modell wähle ich die Erdbahn als Referenzebene. Ergo muss ich die sphärischen Koordinaten in kartesische umrechnen. Der Winkel theta, also der Polarwinkel ist hierbei ja entscheidend, weil ja für  90°- Bahnneigung die tatsächliche Inklination der Planeten zur Ekliptik darstellt. Sowie ich mir das vorstelle bestimme ich den Startpunkt der Planeten  mittels des Tripels (r,theta,phi; Hierzu nehme ich den Periapsis als kürzeste Distanz des Planeten zur Sonne), rechne dieses dann ins kartesische Koordinatensystem um und der daraus resultierende Vektor liegt dann in der Ebene in der auch die Umlaufbahn des Planeten um die Sonne liegt. Eben mit dieser Inklination. In der Theorie eigentlich ganz einfach nur die praktische Umsetzung gelingt mir noch nicht so wirklich. 
Zum Beispiel weiß ich nicht wie im sphärischen Koordinatensystem der Geschwindigkeitsvektor anzubringen ist. Im 2D-Modell steht dieser ja senkrecht zum Punkt auf dem der Planet sich befindet, also tangential zum Kreis der beschrieben wird. Wie sieht das in 3D aus?

Sorry für die unprofessionellen Erklärungsversuche aber Physik hatte ich zuletzt in der Schule in der 12. und habe über Umwege im Studium mein Interesse für die Astrophysik entdeckt obwohl ich selbst eigentlich Informatiker bin.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Kommentar von weckmannu ,

danke für den Stern! zum Thema: der Vektor der Geschwindigkeit steht nur im Perihel und Aphel der Ellipse senkrecht zum Radius, auf der übrigens Bahn ist die Tangente 'schräg'. Da du die Umrechnung zwischen kartesischen und sphärischen System schon verwendet, empfehle ich zur Konstruktion der Formeln, jeweils in das einfachere durch Transformation zu wechseln. So auch zur Bestimmung des Geschwindigkeits-Vektors in die individuelle Bahnebene transformieren und in dieser Ebene die Geschwindigkeit ermitteln, und wieder zurück in die Ekliptik transformieren - habe mal Funktionentheorie gehört. Da vereinfacht man durch passende Koordinatentransformation.

Antwort
von gilgamesch4711, 48

  Du findest das in der astronomischen Standardliteratur.

wenn ich eine ellipse am Himmel sehe, ist das doch nur die Projektion der wirklichen Bahn. Und die Umkehrung gibt es auch.

Kommentar von weckmannu ,

Die Bahn selbst ist bei allen Planeten eine Ellipse. Wir sehen die Projektion von der Erdbahn aus nicht als Ellipse. Deshalb wurde sie im ptolemäischen System mit Epizyklen beschrieben.

Antwort
von gilgamesch4711, 28

  Den Kommentar kommentieren darf ich nicht. Daher hier. Die Umrechnung, die ich meine, bezieht sich auf die Ellipse eines doppelsternsystems - genau das, was du brauchen kannst.

Kommentar von weckmannu ,

Die Ellipse des Doppelsternsystems ist genauso eine Keplerellipse, wie bei den Planeten. Der Unterschied ist der Beobachtungsstandort:

Bei den Planeten bewegen wir uns innerhalb des Systems, und beim Doppelstern sind wir weit entfernt und praktisch ohne Eigenbewegung - ergibt eine ganz andere Projektion.

Kommentar von gilgamesch4711 ,

  Genau das will Melfyce doch. Die Darstellung unseres Planetensystems von einem fiktiven bzw. virtuellen äußeren Standpunkt. Diese Umrechnungsformeln gibt es in jedem Standardwerk über Himmelsmechanik.

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