Frage von HosenmatzXXL, 40

Wie berechnet man den Schnittpunkt mit einer Funktion 3. Grades?

Hey Leute,

ich habe eine Aufgabenstellung erhalten, in der steht, dass ich zeigen soll, dass sich f(x) = x² + 1 und g(x) = 1 - x³ auf der y-Achse berühren. Das ist also das so genannte Berührproblem und am Anfang habe ich mir gedacht, dass ich ja den Schnittpunkt der y-Achse berechnen muss, wenn ich zeigen soll, dass sich diese Graphen an der y-Achse berühren. Ich kam dann bei beiden auf +1 raus, also stimmt der Nachweis der Funktionswerte erst einmal. Nun aber muss auch der Nachweis der Steigung ausgeführt werden und hierbei komme ich nicht so zurecht. Man muss ja die Ableitungsfunktion der beiden Funktionen bilden und sie gleichsetzen. Dabei kommt dann f ' (x) = 2x und g ' (x) = -3x raus, aber hier kann ich ja nicht den Schnittpunkt an der y-Achse für x einsetzen, da kommen ja eh zwei verschieden Werte raus. Wie komme ich hier weiter? Schließlich muss ich ja beim Nachweis der Steigung auch auf denselben Wert kommen bei beiden Funktionen, um am Ende die Funktion der Berührtangente festzustellen. Wie mache ich das nun?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 7

Hallo,

Schnittpunkt mit der y-Achse bedeutet f(0)

Wenn Du in f(x)=x²+1 für x eine Null einsetzt, kommt 1 heraus; dasselbe passiert, wenn Du x=0 in g(x)=1-x³ einsetzt.

Beide Funktionen haben also den Punkt (0|1) gemeinsam.

Daß sie sich berühren und nicht einfach nur schneiden, weist Du nach, indem Du die Ableitungen bildest und in beide x=0 einsetzt. Kommt dabei derselbe Funktionswert heraus, haben beide dort dieselbe Steigung, was Berührung bedeutet.

f'(x)=2x; f'(0)=0

g'(x)=-3x²; g'(0)=0

Gleiche Steigung am gemeinsamen Punkt: Berührung.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von HosenmatzXXL ,

Achsooo, vielen Dank! :)

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von Peter42, 3

erstens stimmt dein g ' (x) nicht - aber das ist nebensächlich. Weil zweitens  was bedeutet denn "berühren sich auf der y-Achse"? (y-Achse ist gefordert, da gilt x = 0, du rechnest die ganze Zeit mit der x-Achse herum).

Kommentar von HosenmatzXXL ,

-3x² tut mir leid. Ansonsten ja, habe es jetzt verstanden, danke :)

Antwort
von Wechselfreund, 2

Auf der y - Achse -> x=0, f(x) = g(x) = 1!

f'(0) = g'(0) = 0.

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