Frage von VLAKOW, 39

Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem unregelmäßigen Dreieck, wenn man die Hypothenuse eine Kathete und einen Winkel hat?

In meinem Buch steht, man muss die Hypothenuse mit der Kathete und mit sin Winkel multiplizieren. Warum muss ich den Winkel dazunehmen. Verstehe das nicht.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Für deine Frage gilt erst einmal grundsätzlich:

Wenn du von einer Hypotenuse sprichst, ist es kein allgemeines Dreieck, sondern ein rechtwinkliges. Unregelmäßig ist es schon gar nicht. Denn es gelten die Gesetze von Pythagoras, Euklid und Thales sowie die Winkelfunktionen der Trigonometrie.

Um eine Dreiecksfläche auszurechnen, brauchst du die Höhe h (hier auf der Seite c).

A = c * h / 2

h bekommst du über den Sinus eines Winkels.

sin α = h / b    oder     sin ß = h / a

h = b * sin α               h = a * sin ß

Um das zu erkennen, musst du deine Skizze vielleicht auf den Kopf drehen, denn du darfst dir dann nur ein Teildreieck ansehen.

Einen kannst du dir aussuchen.

Wenn du gerade den falschen Winkel zu fassen hast, es ist

α = 90° - ß  und

ß = 90° - α

Man kann also alles mögliche ausrechnen aus dem, was gegeben ist.

Wenn du einen Vorschlag hast, welche Kathete und welchen Winkel du als gegeben ansehen willst, kann ich dir die Sache noch direkter erklären.

Kommentar von VLAKOW ,

Also die Hypthenuse GE ist 4,57cm lang. Kathete BE ist 3,6cm lang. Der Winkel zwischen BE und GE ist 38 Grad groß. Die andere Kathete heißt BG hat aber eine andere Größe als BE. Wie rechne ich hier den Flächeninhalt aus?

Kommentar von Volens ,

Also sind andere Punkte verwendet worden als A, B und C, um euch ein bisschen zu verwirren. Aber der Winkel von 38° liegt unter der bekannten Kathete von 3,6 cm.
Zeichne mal die Höhe h ein (senkrecht auf GE).

Das heißt, wenn du deine Skizze umdrehst und das kleinere rechtwinklige Dreieck betrachtest:

sin 38° = h / 3,6      | *3,6
h = 3,6 * sin 38

Das geht nicht im Kopf. Es hilft dir dein Rechenknecht.

Die Fläche ist: GE * h / 2     .Das steht ja schon in der Antwort oben.

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In dem Wort Hypotenuse gibt es nur ein einziges h, nämlich am Anfang.

Kommentar von VLAKOW ,

Danke jetzt hab ich das verstanden. Bei mir ist nur das Problem, dass ich zwar eigentlich weiß, wie eine Trigometrieaufgabe zu lösen ist, aber irgendwie komme ich dann nie weiter. Und schreibe am Freitag meine Prüfung.

Kommentar von Volens ,

Wenn du noch ein konkretes Problem hast, heraus damit.
Solange man es noch mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun hat, ist alles übersichtlich, wenn man weiß, wo der rechte Winkel ist, und dabei auch eine Skizze mal herumdreht,

Antwort
von fihdireborn, 12

Wenn man den Sinus(auch Cosinus und Tangens) von einem Winkel nimmt, erhält man nur 2 das VERHÄLTNIS ziwschen den seiten. Bei Sinus ist es das verhältnis Gegenkathete/Hypothenuse.

Das heisst, wenn x der winkel ist dann ist

sin(x) =  Gegenkathete/Hypothenuse

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