Frage von Ente73, 101

Wie berechne ich x (bitte Bild anschauen)?

Hallo zusammen

Ich habe diesen Halbkreis. Darin hat es ein Quadrat. Darin hat es ein Kreis. MB ist 5 cm.

Ich ging davon aus, dass die Linie, die x beinhaltet auch 5 cm ist. Ich dachte, dass der Schnittpunkt ein gleichseitiges Dreieck definiert, doch das ist falsch. Wie bekomme ich die Höhe des ersten Dreiecks mit rechtem Winkel heraus?

Wie bekomme ich x heraus. Es sollte 4 geben.. Wieso?

Danke für die schrittweise Erklärung.

lg E.

Antwort
von Baranars, 32

Zum ersten Teil:

Ich bezeichne im folgenden den Schnittpunkt Halbkreis mit der x beinhaltenden Linie als Z, die Quadratseiten als Länge a und den Punkt zwischen M und B, von dem a orthogonal abgeht als C.

Das Dreieck MCZ: die eine Kathete ist gleich a, die andere a/2. Damit kannst du beliebige Werte einsetzen, den mit zwei bekannten Seitenlängen und einem bekannten Winkel (90° bei C) kann man die anderen Winkel errechnen. Die Werte, die du einsetzt sind egal, es geht erstmal nur um die Winkel.

Mit den errechneten Winkeln bei M und Z hast du nun drei bekannte Winkel und eine bekannte Strecke, damit kannst du die Strecken der Katheten MC und CZ errechnen.

Mit der Strecke CZ hast du dann auch den Kreisdurchmesser und damit auch den Kreisradius

Über den zweiten Teil denke ich gerade noch nach...


Kommentar von Baranars ,

Zum zweiten Teil:

Sobald du den Winkel bei M des bekannten Dreieicks kennst, kannst du gedanklich ein neues Dreieck aufspannen zwischen M, dem Kreismittelpunkt und A. Den Winkel bei M des neuen Dreiecks kennst du (90°-Winkel bei M des alten Dreiecks). Damit kennst du im neuen Dreieck auch den Winkel bei A. Der Winkel beim Kreismittelpunkt ergibt sich über die Winkelsumme. Zwei der drei Seiten des neuen Dreiecks sind schon bekannt (a/2), damit kennst du alle Winkel und zwei von drei Seiten des neuen Dreiecks. Damit sollte x gut zu berechnen sein.

Ich bin mir nicht sicher, ob das der einfachste Weg ist, aber er sollte funktionieren.

Kommentar von Ente73 ,

Danke Baranars

Haben wir ein gleichseitiges Dreieck MBC? Nicht, oder?

lg E.

Kommentar von Baranars ,

Die Punkte MCB liegen alle auf einer Linie. Welches Dreieck ist genau gemeint?

Kommentar von Ente73 ,

Sorry, das Dreieck Mittelpunkt B des Halbkreises rechts aussen und rechte obere Ecke vom Quadrat..Ist das ein gleichseitiges Dreieck, wohl nicht, oder?

Kommentar von Baranars ,

Das Dreieck M (Mittelpunkt der unteren Linie) zu B (äußerster rechter Punkt der unteren Linie) zu Z (obere rechte Ecke Quadrat) ist so wie ich das Bild interpretiere kein gleichseitiges Dreieck. Ich hab das aber nicht durchgerechnet, es scheint mir nur über das Bild klar zu sein.

Kommentar von Ente73 ,

danke

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 37

Hallo,

den großen Kreis benötigst Du im Grunde nur, um zu berechnen, wie lang eine Quadratseite ist, nennen wie sie a:

Wenn Du die obere rechte Ecke des Quadrates C nennst, dann entspricht die Strecke MC der Strecke MB, denn es ist jedesmal der Radius des großen Kreises, also 5.

Dann gilt: (a/2)²+a²=5²

(5/4)a²=25

a²=20

a=√20=2√5

a/2=√5

Nun kannst Du den Winkel BMA bestimmen:

(2√5)/5=sin (<BMA)=0,894427191

BMA=63,435°

Nun zeichnest Du von M aus eine senkrechte Linie bis zum oberen Ende des Quadrates durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises. Den oberen Schnittpunkt mit dem Quadrat nennst Du D.

Verbinde D mit A.

Weil Du es nun mit einem Thaleskreis zu tun hast, ist der Winkel DAM ein rechter Winkel.

Du hast also das rechtwinklige Dreieck MDA.

Winkel AMD ist 90°-63,435°=26,565°

Seite MD=2√5

Diese Angaben reichen, um die Strecke x zu bestimmen:

x stellt nämlich die Ankathete zu diesem Winkel AMD dar.

So gilt:

cos(26,565°)=x/(2√5)

x=2√5*cos(26,565)=4

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Ente73 ,

Bei ADM wäre ja der Thaleskreis der Halbkreis. Du hast aber D oberkannt Quadrat gemacht. Wie komme ich nun auf den rechten Winkel? Danke fürs Feedback.

Kommentar von Willy1729 ,

MD ist der Durchmesser des kleinen Kreises. MA und DA sind Strecken über demselben Halbkreis und bilden deswegen einen rechten Winkel.

Kommentar von Ente73 ,

Ist denn AD die Hypothenuse?

Kommentar von Willy1729 ,

AD ist die Gegenkathete.

Kommentar von fjf100 ,

Du hast einen Fehler gemacht ! Die zeichnerische Lösung ergibt im Quadrat ein allgemeines Dreieck mit den Winkeln a=22,5° b=22,5° und g=135° und 2 Seiten mit den Radius r=a/2=2,236 cm

Die 3.te Seite MA kann man nun über den Sinussatz ermitteln !

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 17

Hallo,

ich lade Dir noch einmal eine Konstruktionszeichnung des Problems hoch.

Auch daran erkennst Du, daß x, wie berechnet, gleich 4 ist.

Auf diese Weise kannst Du auch die Wurzel aus dem Betrag einer Strecke konstruieren.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Kleine Korrektur:

Du kannst so die Wurzel aus 5 bestimmen, nicht jede beliebige Wurzel.

Willy

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

Solche Aufgaben kannst du am einfachsten zeichnerisch lösen.Die gesuchte Strecke MA brauchst du dann nur noch ausmessen.

Weiterer Vorteil : Aus der Zeichnung kannst du die Winkel und Dreiecke bestimmen und somit auch ,welche Formeln du anwenden musst !!

1. Schritt : über das rechtwinklige Dreieck das Quadrat bestimmen,die Seitenlänge a

es gilt tan(a)=Gk/Ak mit Gk=b und Ak=a/2 und b= (a/2) *2 ergibt

a= arctan(a/ 2 * 2 * 2/a)=arctan(2)=63,4349° hier aus kann man die Seitenlänge des Quadrats berechnen.

sin(a)=Gk/Hy ergibt sin(63,4349°) * 5=4,472

cos(a)=Ak/Hy ergibt cos(63,4349°) *5=2,236

Wir haben hier also ein Quadrat mit der Seitenlänge a=4,472 cm vorliegen

Nun zeichnen wir diese Quadrat mit den Kreis darin Radius r=a/2=2,236 cm

Nun zeichnen wir im Quadrat die Diagonalen ein und erkennen ein allgemeines Dreieck mit 2 gleichen Seiten

Im Mathe-Fromelbuch hat dieses allgemeine Dreieck die Seiten a,b und c und die Winkel Alpha (a) ,Beta (b) und Gamma (g)

Aus der Zeichnung erkennen wir diese Winkel Alpha (a)=22,5° beta (b)=22,5° und Gamma (g) 135° (90°+45°=135°)

Wir haben nun alle Winkel gegeben und 2 Seiten.

Die 3.te Seite können wir nun über den Sinussatz ermitteln.

Sinussatz a/sin(a)=c/sin(g) ergibt                                                                     MA=c=a *sin(g) /sin(a=2,236 *sin(135)/sin(22,5°)  =4.131 cm

also ist MA=4,131 cm

Überprüfe das Ergebnis durch ausmessen der Strecke MA in der Zeichnung

Kommentar von Willy1729 ,

Dein Ergebnis weicht doch deutlich von der angegebenen Lösung ab.

Sowohl rechnerisch als auch durch Konstruktion ergibt sich für x die Länge von 4 Einheiten.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von fjf100 ,

Hast Recht !! Hab das Bild falsch abgezeichnet !!

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 3

Muss mich hier korrigieren ! Hab die Zeichnung falsch abgezeichnet.

Rechenweg bleibt .Nur die Winkel im allgemeinen Dreieck ändern sich.

Aus der Zeichung sieht man Alpha (a)=(90°-63,4349°)=26,56505°= Beta (B)

und Gamma (g)= (180° -2 *(a))=126,8699°

Damit ergibt sich MA=4 cm

Beitrag von "Willy" ist richtig.

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