Frage von whatsupper, 76

Wie berechne ich diesen komplexen Bruch?

Hi,

ich hänge an einer Aufgabe zum Thema komplexe Zahlen:

( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) * z = (3-i) / (3+i)

Bei dieser Aufgabe soll man Re und Im ausrechnen.

Nun ich habe schon viele Wege Probiert, aber weder die Lösung noch WolframAlpha kann ich nachvollziehen.

Ich habe zunächst die linke dann die rechte Seite jeweils mit dem konjugierten Mal genommen, um i im Nenner weg zu bekommen.

Dann habe ich beides auf den selben Nenner gebracht.

Rechts ( rechts vom "=") habe ich auch mit dem konjugierten Mal genommen.

Dann habe ich die linke Seite, ausser das z nach rechts gebracht.

Zusammen gerechnet und mein Ergebnis erhalten.

Problem: Ich bekomme werte weit über 1000 raus, was mega daneben liegt.

Bei WolframAlpha z.B. wird mit Ausklammern gearbeitet. Wann und wo weiß ich was ich ausklammern muss und wann nicht?

Die Aufgabe macht mich verrückt, Bitte daher um Hilfe!

Danke!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

Hallo,

Du kannst die einzelnen Brüche so verändern, daß das i aus den Nennern verschwindet. Das geht auch in der Differenz, weil Du ja jeden Bruch für sich bearbeitest. Du nutzt dazu die dritte binomische Formel (a+b)*(a-b)=a²-b².

Den ersten Bruch erweiterst Du also mit (2-3i)/(2-3i)

Dann bekommst Du [(1-i)*(2-3i)]/[(2+3i)*(2-3i)]

Der Nenner lautet dann 4+9, denn i²=-1, also 13.

So machst Du es auch mit dem zweiten Bruch, der mit (1-i)/(1-i) erweitert wird.

Der Nenner ist dann (1+i)*(1-i)=1+1=2

Nun noch die Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen, dann steht auf der linken Seite der Gleichung:

[(1-i)*(2-3i)]/13-[(6+2i)*(1-i)]/2

Ausmulitpliziert:

(-1/13)-(5/13)i-(6-4i+2)/2=(-1/13)-(5/13)-(8-4i)/2=(-1/13)-(5/13)i-4+2i=

-53/13+(21/13)i

Nun die rechte Seite:

(3-i)/(3+i)=(3-i)²/[(3-i)*(3+i)]=(9-6i-1)/(9+1)=(8-6i)/10=4/5-(3/5)i

Nun mußt Du noch 4/5-(3/5)i durch -53/13+(21/13)i teilen, um z herauszubekommen.

Dazu kannst Du den Bruch wieder mit [-53/13-(21/13)i]/[-53/13-(21/13)i] erweitern, um das i aus dem Nenner zu bekommen. 

Am Ende bekommst Du für z=-11/50+(3/50)i oder -0,22+0,06i heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von whatsupper ,

Danke!

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Ich würde erst einmal die komplexen Zahlen zusammenfassen.

Da die äußerste Operation auf beiden Seiten eine Multiplikation/Division ist, bietet sich für die Zahl auf der rechten Seite eine Polardarstellung an, aber es ist vermutlich einfacher, generell mit kartesischen Koordinaten zu rechnen.

Die größte Schwierigkeit scheint der Vorfaktor von z zu sein. Ich habe hier eine Differenz. Jedes der Elemente der Differenz ist ein Bruch. Diese Brüche rechne ich wie üblich in kartesischen Koordinaten aus:

Zunächst der erste Bruch (1-i) / (2+3i):

(1-i) / (2+3i) = (1-i) (2-3i) / ( (2+3i) (2-3i) )        | Erweitern mit dem komplex konjugierten des Nenners

  = (2 - 3 i - 2 i + 3 i²) / (4 + 9) = (-1 - 5 i) / 13 = -1/13  - 5/13 i

Ebenso: (6+2i) / (1+i) = 4 - 2 i

Differenz: -53/13 + 21/13 i

Wenn wir auch die rechte Seite ausgerechnet haben, haben wir:

(-53/13 + 21/13 i ) * z = (4/5 - 3/5 i)

Weiter können wir wie üblich durch den linken Faktor teilen:

z = (4/5 - 3/5 i) / (-53/13 + 21/13 i)

  = (4/5 - 3/5 i) (-53/13 - 21/13 i) / ( (-53/13 + 21/13 i) (-53/13 - 21/13 i) )

Kommentar von whatsupper ,

Danke

Antwort
von Mentar, 43

Also wichtig ist, alle Brüche wegzubekommen, dann löst es sich von selber. Also zuerst mit (3+i), (2+3i) und (1+i) multiplizieren, dann bekommst du sowas wie

((1-i)*(1+i) - (6+2i) * (2+3i)) * z * (3+i) = (3-i)* (2+3i) * (1+i)

Dann kommt irgendeine Gleichung raus mit z = (a+bi) / (c+di) und das sollte dann leicht sein.

Kommentar von UlrichNagel ,

Soweit richtig, denn Hauptnenner links nach rechts multiplizieren, aber den Nenner rechts hast du nur im 2. Glied und nicht im 1. Glied multipliziert!

Kommentar von whatsupper ,

Danke! Ich habe es wie Sie gesagt haben gemacht.

Meine Lösung ist -0,21 + 0,04i.

Lösung im Skript ist -11/50 + 3/50, also -0,22 + 0,06

Sehen die Korrekter (oder wie man die auch nennt) das eng oder hab ich da einen einfachen rundungsfehler?

Kommentar von Willy1729 ,

Das ist schon mehr als ein Rundungsfehler. Ich fürchte, es wird als falsche Antwort gewertet.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 1

Ich versuch's mal andersrum und trenne nicht erst Real- und Imaginärteil, sondern fasse die Differenz zusammen, um durch sie zu teilen:

    ( (1–i) / (2+3i) – (6+2i) / (1+i) )·z = (3–i) / (3+i)
Differenz auf 1 Nenner:

⇔ ( {(1–i)(1+i)–(2+3i)(6+2i)} / (2+3i)(1+i) )·z = (3–i) / (3+i)
Ausmultiplizieren:

⇔ ( (–4–22i) / (–1+5i) )·z = (3–i) / (3+i)

Dividieren durch den Vorfaktor und Kürzen:

⇔ z = (3–i)(–1+5i) / (3+i)(–4–22i) = (2+16i) / (10–70i) = (1+8i) / (5–35i)

Jetzt erst mit dem Nenner des Komplex Konjugierten erweitern:

    z = (1+8i)(5+35i) / (1250) = (–275+75i) /(1250)
       = (–11+3i) / 50

Ich komme auf dasselbe Ergebnis wie Ihr.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

Hier mal eine Übersicht über die einfachsten Rechenregeln für komplexe Zahlen -->

Addition -->

(a + b * i) + (c + d * i) = u + v * i

mit

u = a + c

v = b + d

Subtraktion -->

(a + b * i) - (c + d * i) = u + v * i

u = a - c

v = b - d

Multiplikation -->

(a + b * i) * (c + d * i) = u + v * i

mit

u = a * c - b * d

v = a * d + b * c

Division -->

(a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

mit

k = c ^ 2 + d ^ 2

u = (a * c + b * d) / k

v = (b * c - a * d) / k

----------------------------------------------------------------------------------------------------

( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) * z = (3-i) / (3+i)

Nebenrechnung für (1-i) / (2+3i) -->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 1 und b = -1 und c = 2 und d = 3

k = c ^ 2 + d ^ 2 = 2 ^ 2 + 3 ^ 2 = 13

u = (a * c + b * d) / k = (1 * 2 - 1 * 3) / 13 = -1 / 13

v = (b * c - a * d) / k = (-1 * 2 - 1 * 3) / 13 = - 5 / 13

(1 - i) / (2 + 3 * i) = - (1 / 13) - (5 / 13) * i

Nebenrechnung für (6+2i) / (1+i) -->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 6 und b = 2 und c = 1 und d = 1

k = c ^ 2 + d ^ 2 = 1 ^ 2 + 1 ^ 2 = 2

u = (a * c + b * d) / k = (6 * 1 + 2 * 1) / 2 = 4

v = (b * c - a * d) / k = (2 * 1 - 6 * 1) / 2 = -2

(6 + 2 * i) / (1 + i) = 4 - 2 * i

Nebenrechnung für (3-i) / (3+i)-->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 3 und b = -1 und c = 3 und d = 1

k = c ^ 2 + d ^ 2 = 3 ^ 2 + 1 ^ 2 = 10

u = (a * c + b * d) / k = (3 * 3 - 1 * 1) / 10 = 8 / 10 = 4 / 5

v = (b * c - a * d) / k = (-1 * 3 - 3 * 1) / 10 = - 6 / 10 = -3 / 5

(3 - i) / (3 + i) = (4 / 5) - (3 / 5) * i

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Aus ( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) * z = (3-i) / (3+i)

wird dann -->

 - (1 / 13) - (5 / 13) * i - ( 4 - 2 * i) ) * z = (4 / 5) - (3 / 5) * i

Das lässt sich noch weiter vereinfachen -->

- (1 / 13) - (5 / 13) * i - ( 4 - 2 * i) = - (1 / 13) - (5 / 13) * i - 4 + 2 * i

Zur Erinnerung --> (a + b * i) + (c + d * i) = u + v * i

a = - (1 / 13) und b = - (5 / 13)  und c = -4 und d = 2

u = a + c = - (1 / 13) - 4 = - (1 / 13) - 52 / 13 = - 53 / 13

v = b + d = - (5 / 13) + 2 = - (5 / 13) + 26 / 13 = 21 / 13

- (1 / 13) - (5 / 13) * i - 4 + 2 * i = - 53 / 13 + 21 / 13 * i

Damit erhalten wir -->

(- 53 / 13 + 21 / 13 * i) * z = (4 / 5) - (3 / 5) * i | : (- 53 / 13 + 21 / 13 * i)

Man muss also ((4 / 5) - (3 / 5) * i) / (- 53 / 13 + 21 / 13 * i) berechnen -->

Zur Erinnerung --> (a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i

a = 4 / 5 und b = - 3 / 5 und c = -53 / 13 und d = 21 / 13

k = c ^ 2 + d ^ 2 = (-53 / 13) ^ 2 + (21 / 13) ^ 2 = 250 / 13

u = (a * c + b * d) / k = (4 / 5 * - 53 / 13 - 3 / 5 * 21 / 13) / (250 / 13) = - 11 / 50

v = (b * c - a * d) / k = (-3 / 5 * - 53 / 13 - 4 / 5  * 21 / 13) / (250 / 13) = 3 / 50

z = - (11 / 50) + (3 / 50) * i

Das ist dein Endergebnis !!

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Anmerkung :

Anhand des Umfangs der Berechnungen kannst du selber sehen, dass es besser ist diese Formeln dem programmierbaren Taschenrechner zu überlassen oder sich ein kleines Computerprogramm zu schreiben.

Kommentar von whatsupper ,

Erstmal großen Dank für die so ausführliche Erklärung! Zu Ihrer Anmerkung, leider ist ein TR in der Klausur nicht zugelassen 

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, dann muss es mit Formeln gehen.

Antwort
von Geograph, 12

( (1-i) / (2+3i) - (6+2i) / (1+i) ) ∙ z = (3-i) / (3+i)


erweitern der Brüche mit (2-3i); (1-i) bzw. (3-i)
( ((1- i) ∙ (2 -3i) / 13)   -  ((6 + 2i) ∙ (1 -i) / 2)  ) ∙ z = ((3 -i)² /10)

ausmultiplizieren der 3 Brüche
((-1- 5i)/13 – (8 - 4i)/2) ∙ z = (8 - 6i)/10

linke Seite auf Hauptnenner 26
((-2 -8 ∙ 13) + (-10 + 4 ∙ 13)i )/26 ∙ z = (8 -6i)/10

Umstellen nach z und durch 2 teilen
z = 26 ∙ (8 -6i) / (10 ∙ (-106 +42i))
z = (8 -6i) / (-53 +21i) ∙ 26/20

erweitern des Bruches mit (-53 -21i)
z = (8 -6i) ∙ (-53 -21i) / (53² +21²) ∙ 26/20
z = (-8 ∙ 53 -6 ∙ 21 + (6 ∙ 53 -8 ∙ 21)i ) ∙ 26 / (20 ∙ (53²+21²))

ausrechnen
z = (-550 + 150i) / 2500
z = -11/50 + 3/50i


Antwort
von Wechselfreund, 35

Was soll rauskomen? Ich hab 0,208 + 0,08i (unverbindlich...)

Kommentar von whatsupper ,

es soll -11/50 + 3/50, also -0,22 + 0,06 rauskommen.

Wie hast du es gelöst? wie oben der Herr?

Antwort
von ignatowski, 25

Du kannst die Formel hier eingeben.

http://www.wolframalpha.com/

Die Seite rechnet das dann für dich aus.

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