Frage von SammyIII, 61

Wie berechne ich diese Ungleichung?

Wenn ich dies Ungleichung nach x auflöse kommt da x<57/8 raus was auch teil des Ergebnisses ist. Doch die ganze Lösung heißt 7<x<57/8. Wie komme ich darauf???

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 6

1. Fall

x-7>0 → x>7

und 1 > 8(x-7) → 1 > 8x - 56 → x < 57/8

x>7 geschnitten mit x< 57/8 ergibt leere Menge. also L1 = leer.

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2. Fall

x-7<0 →x<7

und 1 < 8(x-7) → 1 < 8x-56 → x > 57/8

x<7 geschnitten mit x>57/8 sind alle Zahlen von 7 bis 57/8

also L2 = L = {x I 7 < x < 57/8}

Antwort
von ralphdieter, 14

Fall 1, x>7: 1 > 8(x-7) ⇒ x<57/8

Fall2, x=0: nicht definiert.

Fall 3: x<7: 1 < 8(x-7) ⇒ x>57/8 (keine Lösung; es gibt keine Zahl, die <7 und >7.125 ist).

Antwort
von Dogukann, 32

Du musst Fallunterscheidungen machen.
Weil 7-7 = 0 und durch 0 dividiert man nicht.
Gruß

Kommentar von SammyIII ,

Alles klar das heißt ja das x einmal größer und einmal kleiner als 7 sein muss. Doch wie genau gehe ich jetzt vor? Nach was genau muss ich die Gleichung wie auflösen?

Kommentar von Dogukann ,

Du betrachtest den Teil unter des Bruches also x-7 und sagst einmal x > 7 & x < 7. Nun probierst du aus welches stimmt; also wenn x = 6 wäre, dann würde es nicht gehen, aber bei x = 7.1 würde es stimmen. Daher 7 < x < 57/8

Kommentar von SammyIII ,

Super ...Danke!!!

Kommentar von Dogukann ,

Gern

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 16

Ungleichungen verhalten sich etwas anders als Gleichungen.
Zum Beispiel kehren sie sich um, wenn du links und rechts gleichzeitig die Vorzeichen änderst oder dividierst:

a > b    ===>  -a > -b
a < b    ===>  1/a > 1/b

Das kannst du dir ganz schnell klarmachen. Du brauchst nur zwei Zahlen auszuprobieren. Jetzt deine Ungleichung:

1 / (x - 7)  >  8            | Kehrwert bilden, dabei ändert sich das Zeichen
x - 7         <  1/8         | +7, dem Zeichen passiert nichts
  x            <  1/8 + 7   | 7 mit 8 erweitern
  x            <  57/8

Alle Zahlen < 57/8 sind Lösungen, aber x = 7 nicht.
Das liegt aber nicht am <-Zeichen, sondern daran, dass man eigentlich gleich zu Anfang den Definitionsbereich einschränken müsste, weil da ein Bruch ist, der bei x=7 Null werden würde, formal also: x ≠ 7

Kommentar von ralphdieter ,

a < b    ===>  1/a > 1/b

Also auch "-1 < 1 ===> -1 > 1"?

Kommentar von Volens ,

Was soll das nun?
-1/1 < 1/1       ===>  1/1 > -1/1    nach Umkehrung

Kommentar von ralphdieter ,

Deine Regel gilt nicht für a=-1 und b=1 (denn f(x)=1/x ist nicht monoton).

Du hast auch x=6 als gültige Lösung ermittelt. Setze das mal in die Aufgabe ein: 1/(6-7)>8 ist leider falsch.

Kommentar von Volens ,

Hast ja recht. Mir ging es in dem Zusammenhang auch mehr um den rechnerischen Umgang mit Ungleichungen.

Aber im Grunde war es zu kurz gegriffen.

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