Frage von FelixNeumayer, 89

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit von diesem Zufallsexperiment?

Hallo Community, ich soll in Mathe diese Aufgabe als Hausaufgabe lösen:

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses: "Es werden gleichviele rote wie blaue Kugeln gezogen." (Wobei 6 blaue und 4 rote Kugeln sich in einer Urne befinden, aus der ich 8 mal eine davon ziehe (die Kugel wird nach dem Zug zurückgelegt)).

Allerdings bin ich eine totale Nieta in Mathe und weiß einfach nicht wie ich dabei anfangen soll. Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte ☺.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 31

Hallo,

am besten berechnest Du das über eine Bernoullikette:

0,6^4*0,4^4*(8 über 4)=0,2322 oder 23,22 %.

0,6 ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue, 0,4 für eine rote Kugel.

Wenn Du aber einfach nur 0,6^4*0,4^4 rechnest, hättest Du nur die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die ersten vier Kugeln blau, die restlichen rot sind. Du mußt aber alle Reihenfolgen berücksichtigen, in den rote und blaue Kugeln gezogen werden, deshalb 8 über 4=70; es gibt nämlich 70 Möglichkeiten, wie sich vier blaue Kugeln unter acht Kugeln verteilen können.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von FelixNeumayer ,

Vielen Dank für die Antwort, aber was meinst du mit "über"?

Kommentar von JTR666 ,

@Willi1729
Es kommt nur darauf an, aus wie vielen roten und blauen Kugeln dein gewünschtes Muster besteht, denn wenn du 0,4^4 * 0,6^4 als Produktkette schreibst, kannst du die Faktoren bekanntlich vertauschen wie du lustig bist, ohne etwas am Ergebnis zu verändern.
Wenn du jedoch ein bestimmtes Muster haben willst, sagen wir mal zuerst 4 rote und dann vier blaue, dann hast du natürlich recht, dass man das dann noch mit (4 über 8) multiplizieren muss, aber das ist ja nicht gesagt worden. Es sollen nur nach dem ziehen 4 rote und vier blaue Kugeln gezogen worden sein.

@FelixNeumayer:
Das mit dem (n über k) sagt dir, wie viele VERSCHIEDENE Möglichkeiten du hast, wenn du von A n Objekte und von B k Objekte hast.
Also du hast ein 8x8 Brett, also 64 Felder (A) und 3 Dame-Steine (B).
Wie viele verschiedene Muster kann man mit den Dame-Steinen legen?
Wenn man jetzt zwei Steine gegeneinander austauscht, hat man logischerweise immer noch das selbe Muster.
Und um jetzt die Anzahl an Mustern zu lösen, kommt man auf (64 über 3) = 41664
Denn (n über k) = n! / ((n-k)!*k!)
"!" heißt Fakultät. n! = 1*2*3*...*n
(64 über 3) = 64! / ((64-3)!*3!) = 41664

Kommentar von Wechselfreund ,

Es kommt nur darauf an, aus wie vielen roten und blauen Kugeln dein
gewünschtes Muster besteht, denn wenn du 0,4^4 * 0,6^4 als Produktkette
schreibst, kannst du die Faktoren bekanntlich vertauschen wie du lustig
bist, ohne etwas am Ergebnis zu verändern.

 Genau das wird durch den Faktor n über k (hier 8 über 4) berücksichtigt!

Wenn du jedoch ein bestimmtes Muster haben willst, sagen wir mal zuerst 4
rote und dann vier blaue, dann hast du natürlich recht, dass man das
dann noch mit (4 über 8) multiplizieren muss,

Dann gerade nicht, denn es gibt nur eine Variante.

Kommentar von Willy1729 ,

(n über k) ist der Binomialkoeffizient, der angibt, auf wie viele Arten sich k Elemente auf insgesamt n Elemente verteilen lassen.

Nehmen wir an, Du wirfst zehnmal hintereinander eine Münze. Es soll viermal Kopf und sechsmal Zahl erscheinen, wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt. Die viermal Kopf müssen also nicht gleich bei den ersten vier Würfen erscheinen, sondern einfach viermal innerhalb von zehn Würfen. Es kann also auch Wurf Nr. 
2; 3; 6 und 9 oder 1;7;8 und 10 oder... sein.

Insgesamt gibt es dann 10 über 4 Möglichkeiten.

Ausrechnen tust Du das folgendermaßen:

10!/(4!*6!)=210 

Das Ausrufungszeichen hinter den Zahlen bedeutet Fakultät.

4!=1*2*3*4

6!=1*2*3*4*5*6 usw.

Bei n über k kommt also über den Bruchstrich n!,

unter den Bruchstrich kommt das Produkt aus k! und (n-k)!

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 36

Wie viele Möglichkeiten gibt es denn erstmal, genauso viele rote wie blaue Kugeln zu ziehen, wenn du acht mal ziehst?

Die Zugreihenfolge ist hierbei egal, es ist ganz leicht, wenn man es einmal durchschaut hat.

Antwort
von JTR666, 29

Also wenn du 8 Kugeln insgesamt ziehst, und du von jeder Farbe die selbe Anzahl ziehst, hast du logischerweise 8/2 = 4 Kugeln von jeder Farbe.

Insgesamt hast du 10 Kugeln in deiner Urne, denn es sind ja 6 blaue und 4 rote Kugeln.
Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen bei 4/10 = 2/5 = 0,4 und die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen bei 6/10 = 3/5 = 0,6.
Du willst wir mal eine rote Kugel ziehen und vier mal eine blaue.
Für den ersten Zug haben wir ja die Wahrscheinlichkeit grade benannt.
Jetzt kommt der zweite Zug.
Die Reihenfolge der Farben die wir ziehen ist ja egal, Hauptsache wir haben am Ende 4 rote und 4 blaue Kugeln gezogen.
Sagen wir jetzt mal, dass wir zuerst alle roten Kugeln ziehen und danach alle blauen.
Für die erste rote Kugel ist die Wahrscheinlichkeit 0,4. Dann wollen wir wieder eine rote Kugel ziehen, und jetzt ist die Wahrscheinlichkeit zwar für den Zug als solchen wieder 0,4 , aber für das "Muster" rot/rot ist die Wahrscheinlichkeit jetzt 0,4² = 0,16
Jetzt soll die dritte Kugel auch wieder rot sein.
Nun haben wir das Muster rot/rot/rot und das erhält man nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4³ = 0,064.
Wenn man jetzt noch die vierte rote Kugel ziehen will, haben wir das Muster rot/rot/rot/rot und dabei ist die Wahrscheinlichkeit 0,4^4 = 0,0256
Jetzt kommen noch die blauen Kugeln ins Spiel.
Zu den 4 roten Kugeln in unserem Muster kommt jetzt noch eine blaue Kugel hinzu. Das Muster ist rot/rot/rot/rot/blau.
Dafür die Wahrscheinlichkeit ist 0,4^4 * 0,6 = 0,01536
Jetzt kommen noch die 2. 3. und 4. blaue Kugel hinzu.
Muster mit 2 blauen Kugeln: rot/rot/rot/rot/blau/blau
    Wahrscheinlichkeit: 0,4^4 * 0,6² = 0,009216

Muster mit 3 blauen Kugeln: rot/rot/rot/rot/blau/blau/blau
    Wahrscheinlichkeit: 0,4^4 * 0,6³ = 0,0055296

Muster mit 4 blauen Kugeln: rot/rot/rot/rot/blau/blau/blau/blau
    Wahrscheinlichkeit: 0,4^4 * 0,6^4 = 0,00331776

Jetzt kann man noch kurz begründen, warum die Reihenfolge egal ist und die Wahrscheinlichkeit nur davon abhängt, wie viele Kugeln man von welcher Farbe ziehen möchte:
0,4^4 * 0,6^4 = 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 * 0,6 * 0,6 * 0,6
Jetzt kann man ja die Faktoren vertauschen wie man will, das Ergebnis ist stets das selbe.
Somit ist gezeigt, dass es nur darauf ankommt, aus wie vielen roten und blauen Kugeln unser Muster besteht.

Allgemeine Definition:
Wenn man mit unseren Kugeln ein Muster aus n roten und k blauen Kugeln ziehen will, liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0,4^n * 0,6^k.
(Aber das geht nur, wenn die Kugel nach dem Zug wieder zurückgelegt wird, denn sonst verkleinert sich ja nach jedem Zug die Anzahl der Kugeln um 1.)

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Deine Rechnung richtig wäre, müßte die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von keiner blauen Kugel bis zu acht blauen Kugeln nach achtmaligem Ziehen genau 1 ergeben, denn mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Du kommst aber nur auf eine Summe von 0,049. Mit Deiner Methode berechnest Du nur die Wahrscheinlichkeit für eine einzige 4 rot - 4 blau-Verteilung.

Natürlich kannst Du die Faktoren vertauschen, auf 70 unterschiedliche Arten. Du mußt die Wahrscheinlichkeiten für jede dieser 70 Möglichkeiten addieren, also 0,6^4*0,4^4*(8 über 4) rechnen, um auf das korrekte Ergebnis zu kommen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Rechne es mal mit viermaligem Münzwurf durch.

Es gibt dann 2^4=16 Möglichkeiten, wie Kopf und Zahl fallen können.

Wieviele davon zeigen genau zweimal Kopf und zweimal Zahl?

Genau 6. Liste alle Möglichkeiten auf und zähle nach.

Ich rechne: 0,5²*0,5²*(4 über 2)=0,375.

Du rechnest: 0,5²*0,5²=0,0625.

6/16=3/8=0,375

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von JTR666 ,

Stimmt ja, hast recht! :D

Sorry! :D

Kommentar von Willy1729 ,

Macht nichts. Stochastik kann ganz schön verwirrend sein. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von FelixNeumayer ,

Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort! Sie war zwar nicht ganz richtig wie Willy gesagt hat, aber dank dir hab ich jetzt nen besseren überblick bekommen. Vielem Dank nochmal! ^^

Antwort
von eragon301, 34

Am besten zeichnest du dir ein baumdiagramm und überlegst dir wie viele Möglichkeiten es gibt, dass das Experiment anders ausgeht

Kommentar von FelixNeumayer ,

Das mit dem Baumdiagramm kann ich vergessen, es gibt mindestens über 5000 Möglichkeiten. :/

Antwort
von JanineMaren, 32

Hey, diese Aufgabe gehört zur Wahrscheinlichkeitsrechnung undzwar zum mehrmaligen Ziehen mit zurücklegen. Die Rechnung ist also:

6 über 4 x 4 über 4 : 10 über 8.

(Sry, dass ich es so aufschreiben musste)

Das Ergebnis ist: 1/3 =33, Periode 3%

Ich hoffe, ich könnte dir helfen und falls du das nochmal genauer erklärt bekommen willst, schreib es einfach in die Kommentare.

Kommentar von FelixNeumayer ,

Was meinst du denn mit "über"? Und sind es dann nicht 33%?

Kommentar von JanineMaren ,

Also das x über y ist anscheinend dann eine neue Form, die ihr noch nicht hattet. Da wird berechnet, wieviele Möglichkeiten es gibt, wenn man aus x beliebig mal (y) zieht. Also bei 2 über 1 ist das Ergebnis 2, weil es genau zwei Möglichkeiten gibt von zwei Sachen eine auszusuchen.

Und gerundet wären es 33%, aber ich habe es jetzt einfach mal mit einer Nachkommastelle angegeben.

Kommentar von Willy1729 ,

So müßtest Du rechnen, wenn die Kugeln nicht nach jeder Ziehung zurückgelegt würden.

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