Wie berechne ich die Summe bei der Aufgabe?

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1 Antwort

Du kennst ja

∑ rᵏ von k=0 bis n-1 = (1–rⁿ)/(1-r)

für alle r∈ℂ\\{1}. Insbesondere gilt für |r|<1, dass rⁿ → 0 für n → ∞, sodass (1–rⁿ)/(1-r) → (1–0)/(1–r) = 1/(1–r). Darum konvergiert die unendliche Reihe ∑ rᵏ von k=0 bis ∞ und es gilt

∑ rᵏ von k=0 bis ∞ := ℓim ∑ rᵏ von k=0 bis n–1
= ℓim (1–rⁿ)/(1-r)
= 1/(1–r)

für alle r∈ℂ mit r≠1.

Es gilt nun

∑4ⁿ/5ⁿ⁺² von n=2 bis ∞
= 1/5² · ∑ rⁿ von n=2 bis ∞, wobei r:=4/5
= 1/5² · ∑ rⁿ⁺² von n=0 bis ∞
= r²/5² · ∑ rⁿ von n=0 bis ∞
= (r/5)² · 1/(1–r), da |r|=4/5 < 1 siehe oben
= (4/5²)² · 1/(1–4/5)
= 4²/5⁴ · 5/(5–4)
= 4²/5³
= 16/125.
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Kommentar von StudentHN
10.10.2016, 14:23

Okay das habe ich erstmal alles drauf. So schau mal meine Rechnung an. Ich benutze die Formel 1/(1-q)

1/(1-4/5) = 5

Aber wie ziehe ich für n=0 und für n=1 die werte ab. welche formel nutze ich da genau. und ist meine obige rechnung korrekt?

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