Frage von Asker4364296402, 19

Wie berechne ich die Parabeln an einer Gerade als Tangente?

Hallo, ich habe das folgende schon öfter versucht auszurechnen, komme aber nicht zum Ergebnis. Vielleicht kann mir jemand Schrittweise das ganze vorrechnen, mit vielen Zwischenschritten, damit ich erkenne, wo mein Fehler liegt.

Das weiß ich: Graphen y=x²-4ax+8a²-1 bilden eine Parabelschar Scheitelpunkte in Abhängigkeit: S(2a|4a²-1) Trägergraph: y=x²-1

Suche: Parabeln die die Gerade g (y=-0,5x+2) als Tangente haben.

Vielen Dank Jetzt schon für eure Antworten!

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 5

Nach auswendig gelerntem Vorgehen bei allgemeinen Funktionen würde man z. B so vorgehen, dass man die Schnittpunkte f_a(x) mit g(x) berechnet:

x² + 4 a x + 8 a² - 1 = -1/2 x + 2

und dann nachsieht, welche dieser Schnittpunkte auch Berührungspunkte sind.

Eine andere Möglichkeit ist, auszurechnen, an welcher Stelle f_a(x) eine Tangente mit der Steigung -1/2 hat und nachzusehen, für welche a die Tangente gerade mit g zusammenfällt.

Die Parabel ist aber eine Funktion 2. Grades. In diesem Spezialfall sind die Tangenten gerade diejenigen Geraden, für die die Schnittpunktgleichung eine Diskriminante von genau 0 hat. (Wenn in einer quadratischen Gleichung die Diskriminante 0 ist, haben wir nur eine einzige Lösung - eine sogenannte "doppelte" Lösung.)

Hier nehmen wir uns die Schnittpunktgleichung von oben wieder vor:

x² + 4 a x + 8 a² - 1 = -1/2 x + 2

Alles auf eine Seite bringen:

x² + (4 a + 1/2) x + 8 a² -3 = 0

Für die allgemeine quadratische Gleichung

a x² + b x + c = 0

ist die Diskriminante

D = b² - 4 a c

Um mit der Bezeichnung a nicht durcheinander zu kommen, bennennen wir die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung um zu p, q, r:

p x² + q x + r = 0

D = q² - 4 p r

Für die obige Gleichung bedeutet das

p = 1, q = (4 a + 1/2), r = (8 a² - 3)

D = (4 a + 1/2)² - 4 * 1 * (8 a² - 3)

Dass die Diskriminante 0 sein soll, bedeutet:

(4 a + 1/2)² - 4 * 1 * (8 a² - 3) = 0

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen nach Potenzen von a:

-16 a² + 4 a + 49/4 = 0

Mit den Lösungen (z. B. Mitternachtsformel)

a1 = 1/8 (1 + 5 √2)

a2 = 1/8 (1 - 5 √2)

Diese Werte für a müssen noch in die Gleichung für f_a(x) eingesetzt werden.

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