Wie berechne ich die Kamtenlängen des Würfels?

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2 Antworten

Nehmen wir mal an, wir würden die Kantenlänge kennen und nennen diese x.
Wir benennen die Eckpunkte des Würfels mit Buchstaben.

             A-----------B
           /   |             /  | 
        C---|--------D    |             
          |    |           |    |
          |   E--------|--F   
          |  /             |/
         G ----------H       (hoffe, das wird so klar)

Jetzt wollen wir überlegen, wie weit ist die Entfernung von von A nach F.
Wir kennen die Entfernung von A nach B (nämlich x) und die von B nach F (ebenfalls x)
Außerdem stehen beide senkrecht aufeinander, sprich der Winkel zwischen ihnen ist 90°. Nach dem Satz des Pythagoras gilt also, dass die Strecke AF = ( (AB)² + (BF)² )¹/²   (hoch 1/2 = Wurzel von)
Wir wissen also, dass AF = (2x²) ¹/² = x * Wurzel(2).
Jetzt betrachten wir AH, also die Würfeldiagonale. Wir kennen AF und wir kennen FH. Außerem stehen beide senkrecht aufeinander. Also wieder Satz des Pythagoras.
AH = ( (AF)² + (FH)² )¹/² = (x² + 2x²)¹/² = (3x²)¹/² = x * Wurzel(3)
Die Würfeldiagonale ist also immer Wurzel(3) mal so groß wie eine Seitenkante.

Schaffst du den Rest alleine?
  

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Die Raumdiagonale d errechnet sich aus der Kantenlänge a durch einen "doppelten Pythagoras". Wenn e die Flächendiagonale ist, gilt:

a² + a² = e² und a² + e² = d²

Zusammengefasst:

a² + a² + a² = 3a² = d²

Den "Rückweg" überlasse ich Dir jetzt selber ...

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