Frage von Traeumer300, 24

Wie berechne ich die Cardanische Formeln bei kubischen Gleichungen?

Hallo!

Seit Jahren frage ich mich selber, wie ich eine kubische Gleichung lösen kann, und zwar OHNE Polynom-Division.

Ich benutze folgende Seite: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Darin kann man sich erklären lassen, wie die Gleichung des dritten Grads berechnet wird. Bis zu einem bestimmten Punkt verstehe ich die Schritte, doch ab cos(w) und v verstehe ich den Schritt leider nicht:

Ein folgendes Beispiel:

Lösen der kubischen Gleichung x³ - 13x² + 54x - 72 = 0 ——————————————————————————————————————————————————————————

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y + 4,333333333333333)³ - 13(y + 4,333333333333333)² + 54(y + 4,333333333333333) - 72 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -2,3333333333333357 q = 2r³/27 - rs/3 + t = -0,7407407407407334

y³ - 2,3333333333333357y - 0,7407407407407334 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -2,3333333333333357 q = -0,7407407407407334

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen, ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen, und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia, im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = -0,3333333333333374.

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist, und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.

cos(w) = 0,5399492471560328 u = 0,6859355250908208

y = 1,666666666666666 1 y = -1,3333333333333366 2 y = -0,3333333333333298 3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht. r=-13 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung. Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x1 = 3

x2 = 4

x3 = 6

MEINE FRAGE: Wie komme ich bei der Gleichung " y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), " auf die y-Werte (also auf 1,6666666; -1,33333333; -0,33333333).? Wie berechne ich von v die Werte von 120 und 240 Grad. Ich will es UNBEGINDT wissen, damit ich künftig schon mal selber darauf kommen kann.

ICH BITTE UM ANTWORTEN VON MATHEMATIK-EXPERTEN UND DANKE IM VORAUS!

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 13

Ich fing auch erst mit den Cardanischen Formeln an.

Die Umkehrfunktion von cos(x) ist acos(x) und beachte: SI-Einheit ist rad!!!

Wie man unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

vorgerechnet bekommt, ist der Winkel phi = acos(...

=1.000419516755496346008272266... rad

und

cos(1.000419516755496346008272266/3)*2*0.88191710368819686350053

=1.666666666666666...

Später fand ich die exakte PQRST-Formel (siehe LINK): mit Hilfe der komplexen Zahlen hat man keine 3 Fallunterscheidungen mehr!!!!

statt mal cos mal cosh mal sinh nur noch Einsetzen fertig analog zur pq-Formel (siehe Vergleich pq-Formel im PQRST-LINK)

Kommentar von Traeumer300 ,

Komme ich so auf die Y-Werte?

Aber wie muss ich 120 und 240 Grad berechnen?

Kommentar von hypergerd ,

Du bist immer noch in der veralteten Welt mit Grad-Winkeln!

Alle Naturgesetze (egal ob Physik, oder mathematische Reihen) brauchen keine Umrechnung, wenn man mit SI-Einheiten rechnet! Die Formel lautet:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

acos(... +k*2*Pi/3) mit k =0, 1,2 also für die anderen:

cos(1.000419516755496346008272266/3+2Pi/3)*2*0.88191710368819686350053 = -1.333333...

cos(1.000419516755496346008272266/3+4Pi/3)*2*0.88191710368819686350053 =-0.33333...

dann + 13/3 und Du hast Deine Ergebnisse 

3, 4, 6

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 17

Das nachzurechnen bin ich zu faul, aber du könntest zur Lösung cos(w) = bla umwandeln zu w = arccos(bla). Dann berechnest du einmal cos(arccos(bla)/3 + 0), cos(...+120) und einmal cos(...+240) und bekommst so deine 3 Ypsilöner.

Kommentar von Traeumer300 ,

Aber wenn du fleißig und fit bist, dann denke daran, mir es genau zu erklären.!

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