Frage von 11inchClock, 43

Wie berechne ich die benötigte Zeit, wenn ich die Strecke sowie die Beschleunigung gegeben habe (Aufgabe als Bild)?

Ich hatte diese Aufgabe mal vor 4 Wochen auf gehabt und schaue sie mir heute zum ersten mal an. Die Besprochene Lösung finde ich aber nicht mehr, wäre nett wenn mir jemand sagt wie man solch eine Aufgabe berechnet.

Es handelt sich um die Aufgabe "Überholvorgang".

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 43

Hallo,

wenn Du ein Zeit- (x-Achse) Geschwindigkeits- (y-Achse) Diagramm zeichnest, bildet der Funktionsgraph ein symmetrisches Trapez ab.

Bis zu t/3 steigt der Graph als Teil einer geraden mit der Steigung 5 an. Zwischen t/3 und (2/3)t bewegt er sich parallel zur x-Achse, weil ab da eine konstante Geschwindigkeit beibehalten wird. Im letzten Drittel trifft er wieder als Teil einer Geraden mit der Steigung von -5 auf die x-Achse. Der erste und der dritte Streckenabschnitt sind gleich lang.

Wie hoch ist die Geschwindigkeit bei t=1/3? Dazu mußt Du t/3 einfach mit 5 multiplizieren: v=(5/3)t. So kannst Du schon einmal den zweiten Streckenabschnitt berechnen, den mit der konstanten Geschwindigkeit. Seine Länge beträgt (5/3)t*(1/3)t, also (5/9)t².

Streckenabschnitt 1 und 3 sind gleich lang, weil im selben Maß beschleunigt wie abgebremst wird (als würde ein Film einmal vorwärts und einmal rückwärts laufen). Die Länge eines Streckenabschnitts kannst Du nach dem Satz des Pythagoras berechnen: s1²=(1/3)²*t²+(5/3)²*t²=(26/9)t². Der x- und der y-Achsenabschnitt sind die Katheten, die Strecke s1 ist die Hypotenuse.

s1 und s3 zusammen sind also zweimal die Wurzel aus (26/9)t² oder
(2/3)*√26*t.

s ist dann (5/9)t²+(2/3)*√26*t.

Da s gegeben ist: 1,17*10^11 m, können wir nun die Gleichung aufstellen:

(5/9)t²+(2/3)*√26*t-1,17*10^11=0

Die positive Lösung für t ist 458908,7 Sek. oder etwa 5,3 Tage.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Mamuschkaa ,

alles Richtig bis du angefangen hast Phytagoras zu benutzen.
Du rechnest den Flächeninhalt von zwei Dreiecken aus
Die Hypotenuse sagt nichts über die Strecke aus die das Raumschiff zurückgelegt hat.

Kommentar von Willy1729 ,

Da ich anschließend die Wurzel ziehe, rechne ich die Länge der Strecke s1 aus. Über den Pythagoras werden auch die Beträge, also die Längen von Vektoren berechnet.

Setz den Wert für t in die Formel ein, so kommst Du auf genau 117 Mio. km.

Gruß, Willy

Kommentar von 11inchClock ,

Verstehe die Anwendung des Phytagoras hier überhaupt nicht. Erstmal habe ich hier nirgends ein Dreieck, zweitens woher kommt jetzt plötzlich die s1^2 her?

Bis zum Phytagoras war es ja noch verständlich..

Kommentar von Willy1729 ,

Und danach wurde es falsch. Mein Fehler war, daß ich die Länge des Graphen mit der Länge der Strecke gleichgesetzt habe - und das ist Blödsinn. Für den Teil der Strecke, bei dem das Raumschiff mit konstanter Geschwindigkeit fliegt, ist das ja richtig; für den Beschleunigungs- und Bremsvorgang stimmt es aber nicht, weil die Strecke pro Zeiteinheit ja immer mehr zunimmt - in der ersten Sekunde schafft das Raumschiff etwa fünf Meter, danach etwa 10 usw. Du mußt diesen Teil der Strecke also nach der Formel
s=(a/2)*t² rechnen. Da Beschleunigungs- und Bremsvorgang symmetrisch verlaufen und somit dieselbe Strecke in derselben Zeit zurückgelegt wird, kann man dies mit 2 multiplizieren. Für t setzt Du t/3 ein, weil dieser Teil der Strecke ja jeweils in einem Drittel der Zeitspanne bewältigt wird. So setzt sich s aus 2*(1/2)*a*(t/3)²+(1/3)t*a*(1/3)t zusammen. Der zweite Summand ist das waagerechte Stück der Strecke, bei dem das Raumschiff die zweite Zeiteinheit, also (1/3)t die erreichte Höchstgeschwindigkeit konstant beibehält, also (1/3)t*a*(1/3)t zurücklegt.

Wenn Du nun etwas zusammenfaßt und für a eine 5 einsetzt, bekommst Du folgende Formel: s=(5/9)*t²+(5/9)*t², also s=(10/9)*t².

Wenn Du diese Formel nach t² auflöst, erhältst Du t²=(9/10)s.

Somit ist t=3*√(s/10). Wenn Du nun für s die gegebenen 117*10^9 m einsetzt, bekommst Du für t 324499,6148 Sekunden heraus.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von 11inchClock ,

Denke es ist noch immer falsch. Es ist mir ein Rätsel wie du auf 10/9 kommst.

Du sagst der erste drittel und der zweite drittel sind gleich, also einfach mal 2 rechnen.

Das wäre dann 2 * (0,5 * 5 * (1/3)t^2) = 5/9

Antwort
von Mamuschkaa, 32

Aufleitung von Beschleunigung ist Geschwindigkeit,
Aufleitung von Geschwindigkeit ist Strecke
1. Drittel:
Beschleunigung=5 m/s²
Geschwindigkeit=5t+b m/s    t in sekunden
Startgeschwindigkeit=0 m/s  => b=0
Geschwindigkeit=5t m/s
Strecke=2,5t²+c m
Startstrecke=0  m =>c=0
Strecke=2,5t² m
Strecke=117/3 Mill km =39 Million km=39 000 000 km= 39 000 000 000 m
39 000 000 000 m = 2,5t² m
t²=15600000000
t=20000 *39^0.5   (wurzel(39))
ungefähr t=124899.959967967964
ungefähr t=124900
2.Drittel:
Ab jetzt kannst du auffwändig rechen oder wie in der 6. Klasse.
Die Geschwindigkeit war Linea. berechnet man die Fläche unter der Geraden mit x*y/2 oder auch  t*5t/2=39 000 000 000.
wobei die fläche unter der Geschwindigkeit die Strecke ist.
für das 2. Drittel ist die Geschwindigkeit kontant, man rechnet also
x*y oder auch t*5*20000*39^0.5=39 000 000 000.
Also braucht man für ein Rechtesckige Fläche eine halb so lange Seite wie für eine Dreieckige, also ist t halbsogroß
t=20000 *39^0.5  /2
t=10000 *39^0.5
3. Drittel
Da er gleich abbremst ist es das selbe wie bei der Beschleunigung
t=20000 *39^0.5
Zusammen kommt man also auf:
20000 *39^0.5 + 10000 *39^0.5 + 20000 *39^0.5 sekunden
=50000*39^0.5 sekunden
ungefähr gleich
312249.89991991991029234465604698972305364799889958281
also in etwa
312249.9 Sekunden
das sind 3 Tage 14 Stunden 44 Minuten 9.9 Sekunden

Kommentar von Mamuschkaa ,

ups ,ich habe gedacht 1/3 der Strecke beschleunigt er, nicht ein 1/3 der Zeit.
in diesem Fall, suchst du die Fläche unter
     ___
    /      \
   /        \
  /          \
 /            \
/              \
wobei jeder abschnitt 1/3 der Gesamt zeit ausmacht.
der 2. Abschnitt hat wie Willy begründet hat  (5/9)t²
die anderen beiden haben aber (1/3)t*(5*1/3*t) /2 flächeninhalt.
und da es 2 davon gibt das ganze mal 2 also
(1/3)t*(5*1/3*t) =5/9 t² (logischer weise)
also ist 10/9 t²=117000000000
t=90 000 √13    ungefähr gleich
=324500
=3 Tage 18 Stunden 8 Minuten 20 Sekunden

Kommentar von 11inchClock ,

hä warum 1/3 * 5/3 und was für beide ?

Kommentar von Mamuschkaa ,

 also falls die Frage noch besteht (Willy und ich sind uns ja jetzt Einig) nochmal die ganze Argumentation:
t=Zeit die du suchst.
du kennst du funktionen der Beschleunigung und die Strecke.
Problem: das beides passt nicht so ganz zusammen,
ABER Strecke abgeleitet ist geschwindigkeit, und geschwindigkeit abgeleitet ist beschleunigung.
also:
beschleunigung 2 mal Integrieren:
nach dem ersten mal bekommst du die geschwindigkeitsfunktion raus:
     ___  
    /      \
   /        \     (du musst die drei abschnitte einzelnd integrieren
  /          \     und Lückenlos aneinander tun)
 /            \
/              \
|- - - t - - -|
Es ist gegeben, das jeder der 3 der 3 Abschnitte gleich Lang ist auf der Zeit-achse.
Anstatt es jetzt nochmal zu integrieren ist es viel schlauer,
den Flächeninhalt der von der Funktion und der Zeit-Achse eingeschlossen wird zu berechnen. (Integrieren=Flächen-Funktion)
      ___
    /|     |\
   / |     | \  Flächeninhalt= 117 Mil km
  /  |     |  \
 /   |     |   \
/    |     |    \  Die Fläche ist gleich der Funktion
ist gleich dieser Fläche;
 ______                         ______
|    /|     |                        |          |
|   / |     |                        |          | Flächeninhalt= 117 Mil km
|  /  |     |                        |          | 5* 1/3 *t
| /   |     |                        |          |
|/    |     |   oder auch     |_____|
                                       2/3 * tDabei ist die untere Seite =2/3 der gesamten Zeit
(das eine drittel für die gleichbleibende geschwindigkeit und das andere drittel für die zusamm fügung der beschleunigung und der abbremsung.
Die höhe ist maximale geschwindigkeit die erreicht wurde.
das ist 5* 1/3 der Zeit, weil wärend des 1. drittels jede minute 5m/min dazukamen.

also rechnest du
2/3 * t *  5/3  *t= 117 Mil km
10/9 *t² = 117 Mil km
t²=105,3 Mil km
da die Funktion aber in meter die Minute,
aber die fläche in km ist noch eben umrechnen:
t²=105 300 000 000 meter  und
t=324499,614781759036380729914072344635
(so jetzt habe ich wieder mehr nachkomma stellen ^_^ )

Kommentar von Willy1729 ,

Hab ich jetzt auch raus. Willy

Antwort
von SKenb, 24

t = s / v.               alg für Gleich. Bew.
t = wur(2*s / a)    alg für Beschleunig.

t = tb + t + tv = 2*tb + t   | tb = tv

2 * wur(2 s / (3 a)) + s / (3 v)

Antwort
von FreshD7, 32

Also wir brauchen t.

S= 117 Mio km, ein Drittel davon sind 39 Mio km.
S= 1/2 a*t^2, a hast du ja, also nach t umformen
Das t in die Gleichung a*t=v einsetzen und dann hast du v
Dann s/v ist = t2
Dann wieder s= 1/2 a*t^2 nach t umformen und setzen. S ist immer 39mio km. Dann alle 3 t addieren. Glaube so ist richtig

Kommentar von FreshD7 ,

Pardon, wir müssen die bremszeit berechnen im letzten Fall

Kommentar von Willy1729 ,

Das Drittel bezieht sich nicht auf den Weg, sondern auf die Zeit. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von FreshD7 ,

Danke, hab ich mich wohl vertan.

Antwort
von chakajg, 41

s = 0,5·a·t²
s = v·t
s: Strecke, v: Geschwindigkeit, a: Beschleunigung, t: Zeit
Unterteile die Strecke in die entsprechenden Abschnitte und fang an zu rechnen.

Kommentar von 11inchClock ,

woher kommt die 0,5 ?

Kommentar von chakajg ,

Das ist einfach die Formel zur Strecken-Berechnung mithilfe von Beschleunigung und Zeit.

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