Frage von Ente73, 45

Wie berechne ich den Radius x aus a?

Hallo zusammen

Hier eine Kreisberührungsaufgabe. Ich bin so vorgegangen:

Zu unterst haben wir ja vier Mal a/4, also ist der kleine Kreisradius a/4. der Grosse Kreisradius ist x. Wenn ich jetzt eine Mittellinie durch die Mitte des Bogens mache, dann teile ich ihn in zwei Teile. Wenn ich jetzt von der Mitte des kleinen Kreises zur Mitte des grossen eine Linie ziehe, habe ich ein Dreieck: siehe Zeichnung. Wenn ich von der anderen Seite von der Mitte des Bogenfensters zur Mitte zum grossen Kreis eine Linie ziehe, habe ich ein zweites Dreieck. Ich habe folgendes herausgefunden: siehe Bild.

Nun komme ich nicht mehr weiter.. Bitte helft mir.

Vielen Dank lg E.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 12

Jetzt kannst Du mit dem Satz des Pythagoras für die gemeinsame Kathete (y) der beiden rechtwinkligen Dreiecke rot und blau zwei Gleichungen aufstellen:

für rot: (1/2a)²+y=(a-x)² => y=(a-x)²-(1/2a)²
für blau: (1/4a)²+y=(x+1/4a)² => y=(x+1/4a)²-(1/4a)²

Du hast jetzt zweimal y=..., kannst also die rechten Seiten gleichsetzen:

(a-x)²-(1/2a)²=(x+1/4a)²-(1/4a)²                  |ausmultiplizieren
a²-2ax+x²-1/4a²=x²+1/2ax+1/16a²-1/16a²  |zusammenfassen
x²-2ax+3/4a²=x²+1/2ax                               |-x² |+2ax
3/4a²=5/2ax                                                |:5/2a
3/10a=x
(x=0,3a)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 10

Ich hab's nur überschlagen. Müsste hinkommen.
(resp.sec.)

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