Frage von trolltheworld, 58

Wie berechne ich den "allgemeinen" Extrempunkt einer Funktion mit 2 Variablen?

Meine Ausgangsfunktion ist folgende:

f(x) = x * (x - a )²

Oder in der Polynomdarstellung geschrieben:

f(x) = x³ - 2x²a + a²x

Beides die selbe Funktion, nur umgeformt.

Diese hat folgende Nullstellen: x1 = 0 und x2/3 = a (Doppelte Nullstelle).

Nun muss ich die / den Extrempunkt berechnen.

Das heißt erste Ableitung bilden und diese dann Nullstellen.

Ich habe die Funktion so abgeleitet:

f'(x) = 3x² - 4x + a²

= a² + 3x² - 4x

Ist das korrekt?

Wenn ja, wie gehe ich weiter vor? Wie soll ich von dieser Gleichung nun die Nullstellen berechnen? Mit 2 Variablen komme ich da nicht klar.

Bitte um Hilfe! :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von gilgamesch4711, 3

  Und dies Teil 3 meiner Antwort; wie du siehst, haben meine Gleichungsnummern schon " Zsei Punkt " Jedes Polynom 3. Grades hat drei Nullstellen; ist das okay? Jetzt zähle mal richtig in ( 2.1 )

    x1 = 0 ; x2 = x3 = a     (  2.2 )

   oder abgekürzt x2;3 = a . Du das sind in Wirklichkeit drei Nullstellen, nicht zwei, wie Schüler so oft denken. Rein kombinatorisch könnte ein kubistisches Polynom doch haben

  1) drei einfache Nullstellen

   2) eine einfache und eine doppelte ( die dann immer automatisch ein Extremum ist; denn jede gerade Nullstelle, also von 2. , 4. , 6. , ... Ordnung ist immer ein Extremum. )

  3) eine 3-fache ( z.B. y = x ³ ; eine ungerade, also von 3. , 5. , 7. , ...  Ordnung ist automatisch immer ein TRP )

 <<  Aber diese Mischung daraus verwirrt mich.

<<  Wie kann ich mir das denn vorstellen,

 << dass sie Punktsymmetrisch

 << gegen ihren WP verlaufen?

    Ganz einfaches Zahlenbeispiel. Nimm mal an, der WP liegt bei

     (  x  |  y  )  (  w  )  =  (  5  |  3  )    (  2.3a  )

   Mal angenommen, ich weiß irgendwoher, dass der Punkt P auf der Kurve liegt:

     P  =  (  1  |  10  )    (  2.3b  )

    Frage: Was ist dann f ( 9 ) ?  Gemessen in x-einheiten, liegt P vier Einheiten LINKS von dem WP ( 2.3a ) ; uns fällt aber auf, dass x = 9 eben so weit rechts vom WP liegt.

   Und P liegt 7 Einheiten oberhalb des WP; demnach muss wegen der Spiegelsymmetrie

     f  (  9  )  =  3  -  7  =  (  -  4  )    (  2.3c  )

   Das ist genau das, was euch eure Lehrer verschweigen; deshalb kannst du ja nix damit anfangen. Ich musste mir das obendrein noch selber erarbeiten; mir hat keiner einen Tip gegeben.

   Bei Kurven 3. Grades können Minimum und Maximum eben nicht beliebig liegen; wegen der Spiegelsymmetrie liegt das Maximum immer genau so weit links ( und oberhalb ) vom WP wie das Minimum rechts und unterhalb - der WP liegt genau in der Mitte. Könntest du dir möglicher Weise anschaulich vorstellen, dass der WP immer gleich dem aritmetischen Mittel aus Maximum und Minimum, wie in  ( 1.3ab ) behauptet? ( Störe dich bitte nicht daran, dass ich ( 1.3ab ) zweizeilig geschrieben habe; häufig komme ich mit dem Platz nicht so hin. )

    Mal zu deiner Frage; in ( 1.1 ) hatten wir direkt aus der Normalform ohne Umweg über Ableitungen abgelesen

    x  (  w  )  =  2/3  a    (  2.4a  )

    In ( 2.2 ) hast du eine doppelte Nullstelle, also Extremum. In Teil 1 meiner Antwort hatte ich auch überlegt: Minimum .

     x  (  min  )  =  a     (  2.4b  )

   Jetzt habe ich dir gesagt, um das Maximum zu kriegen, musst du nur ( 2.4b ) spiegeln an ( 2.4a )

    x  (  max  )  =  a/3     (  2.4c  )

   Das geht am Schnellsten im Kopf; aber vergleichen wir doch mit Mittelwertformel ( 1.3ab )

   x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ]     ( 2.5a )

     Jetzt einsetzen aus ( 2.4a;b )

    2/3 a  = 1/2 [ x ( max ) +  a  ]    (  2.5b  )

   Vergleiche mit ( 2.4c ) ; na stimmt's ?

   Für weitere Verständnisfragen stehe ich immer zur Verfügung.

Antwort
von Melvissimo, 34

Wie würdest du denn vorgehen, wenn da nicht a² sondern irgendeine Zahl stehen würde? Du würdest die erste Ableitung mit 0 gleichsetzen und dann (mit pq-Formel, abc-Formel, quadratischer Ergänzung oder sonstwie) nach x auflösen.

Dasselbe machst du hier: Setze die erste Ableitung gleich 0 und löse die Gleichung nach x auf. Hierbei behandelst du a einfach wie eine ganz normale Zahl.

Übrigens stimmt deine erste Ableitung nicht:

f '(x) = 3x² - 4ax + a².

Hinweis: Die Ableitung hat eine schöne, faktorisierte Form, auf die du kommen kannst, wenn du x * (x - a)² direkt mit der Produktregel ableitest. Das könnte dir die pq-Formel ersparen.

Kommentar von trolltheworld ,

Okay, vielen Dank schon einmal.

Trotzdem ist das Rechnen mit 2 Variablen bzw. einer Variablen x und einem Parameter (hier: a) noch total komisch.

Ich habe es jetzt mal versucht das ganze so weit es geht mit der pq-Formel aufzulösen.

Mein Vorgehen und meine Ergebnisse siehst du in dem Bild. Ich würde mich sehr freuen wenn du es dir anschauen würdest und mir weiterhelfen könntest. Weil ich bin mir schon sehr sicher, dass das niemals stimmen wird. Die Zahlen sind zwar alle gut und nicht wirklich ungewöhnlich. Aber das Rechnen ist wie gesagt noch so ungewohnt und ich war mir so oft unsicher, dass ich niemals glaube, dass da nicht endliche Fehler drin sind.

Hier meine Rechnung:

http://www.mediafire.com/convkey/d996/2e5s4yfrzfz14s1zg.jpg

Kommentar von Melvissimo ,

Du hast die pq-Formel falsch angewendet (genauer: du hast die falschen Werte eingesetzt). Diese Formel verwendest du ja bei Gleichungen der Form

0 = x² + px + q.

ok, diese Form hast du auch:

0 = x² - 4/3 ax + 1/3 * a².

In diesem Fall ist p = -4/3 a und q = 1/3 * a². 

Du hast aber in deiner Rechnung p = -4/3ax verwendet, was keinen Sinn ergibt, weil x keine Konstante ist.

Richtig wäre:

x = -(-4/3a)/2 +- sqrt ((-4/3a)² - 1/3a²)

= 2/3a +- sqrt(1/9a²)

= 2/3a +- 1/3a.

Daher liegen die Nullstellen bei x = a bzw x = a/3.

Kommentar von trolltheworld ,

Oh man, vielen Dank!

Ja, jetzt hab ich es endlich. 

Wie du schon sagtest habe ich das x mit eingesetzt, obwohl man das sonst auch nie macht. Aber daran habe ich gar nicht mehr gedacht.

Jetzt bin ich da auch endlich drauf gekommen.

Meine Extrempunkte sind nun folgende:

--> T(a|a) und H(1/3a | -5/27a² + 1/3a³)

Kommentar von Melvissimo ,

Da hast du beim Einsetzen wohl irgendwas falsch gemacht. Z.B. liegt der Punkt (a|a) gar nicht auf der Funktion, weil f(a) = 0 ist (du hast ja oben schon herausgefunden, dass a eine Nullstelle ist).

Antwort
von Peter42, 39

deine Ableitung stimmt NICHT - beim Term mit dem " x " fehlt noch was mit " a ".

Weiteres Vorgehen? - kein Problem, das ist 'ne quadratische Gleichung, also so normieren, dass " x^2 " ohne weiteren Faktor erscheint und dann die pq-Formel. " a " einfach mitnehmen dabei, das kann halt irgendeine Zahl sein.

Kommentar von trolltheworld ,

Ich habe hier mit der richtigen Ableitung versucht erstmal weiter zu kommen.

Kannst du mal schauen ob das richtig ist? Ich bin mir nämlich sehr sicher, dass da Fehler drin sind. Das ist alles noch zu neu für mich o_O

Ich habe z.B. irgendwas mit beispielsweise 5ax - 5a verrechnet, was man aber gar nicht darf, oder?

http://www.mediafire.com/convkey/d996/2e5s4yfrzfz14s1zg.jpg

Antwort
von iokii, 47

x ist deine Variable, a ist einfach irgendeine Zahl, a^2 ist irgendeine andere Zahl. Du musst also einfach nur durch 3 teilen und dann die Pq-Formel anwenden.

Beim ableiten hast du einen Fehler gemacht.

Antwort
von gilgamesch4711, 17

  Wieso zwei Veränderliche? Du hast doch nur eine x .

   Ich sage es immer wieder, weil absolut keiner es begreifen will.

   Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS ) Für den WP brauchst du keine 2. Ableitung; du gehst immer aus von der Normalform

   x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  2/3  a    (  1  )

   Eine Nullstelle von gerader Ordnung - hier doppelte bei x = a  - ist immer ein ( lokales ) Extremum.

    x  (  min  )  =  x2;3  =  a    (  2  )

   Wir wissen schon, dass es für a > 0 ein Minimum sein muss. Denn für x ===> ( + °° ) gehen alle Polynome gegen Unendlich; und Extremum ( 2 ) liegt ja rechts von WP ( 1 )

   Und noch etwas für FRS , was euch eure Lehrer systematisch verschweigen. Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie; sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Aus dieser Spiegelsymmetrie ergibt sich aber die Mittelwertbeziehung

     ( x | y ) ( w ) =   (  3a  )

   =  1/2 [ ( x | y ) ( max )  + ( x | y ) ( min ) ]  (  3b  )

      x  (  min )  =  a / 3    (  3c  )

Kommentar von trolltheworld ,

Huch, das musste ich mir erstmal mehrfach durchlesen :P

Vielen Dank!

Mit WP = Wendepunkt meinst du jetzt aber generell erst einmal alle Extrempunkte, weil sie der Graph dort logischerweise wendet, richtig?

Ich habe das damals auch immer so gesagt, bis wir die richtigen Wendepunkte kennen gelernt haben. Sprich die Punkte, wo die Steigung am extremsten ist. Seit dem ist der Begriff Wendepunkt ein Tabu für "normale" Hochpunkte etc.

Aber was meinst du nun mit 

x  (  min  )  =  x2;3  =  a    (  2  )

Ich verstehe diese Schreibweise nur so teilweise.

x ( min)? Meinst du, dass das die Stelle vom Minimum ist? a ( 2) ??

Komme da nicht mehr ganz mit.

Eine Nullstelle von gerader Ordnung - hier doppelte bei x = a  - ist immer ein ( lokales ) Extremum.

Wie gut, dass ich das zum aller ersten Mal höre.

Deine gesamte Erklärung ergibt auf jeden Fall Sinn, da wäre ich jetzt nicht drauf gekommen.

Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie; sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Aus dieser Spiegelsymmetrie ergibt sich aber die Mittelwertbeziehung.

Das ist für mich schon wieder zu hoch. Punkt. und Spiegelsymmetrie ist kein Problem. Polynome kein Problem. WP kein Problem. Aber diese Mischung daraus verwirrt mich. Wie kann ich mir das denn vorstellen, dass sie Punktsymmetrisch gegen ihren WP verlaufen?

Mittelwertbeziehung meint jetzt vermutlich, weil es ja gespiegelt ist irgendwie die Differenz daraus oder wie?

Ebenso verstehe ich das ganz am Ende nicht richtig.

Wie kommst du auf :

 ( x | y ) ( w ) =   (  3a  )

Woher kommt es, was hat das zu bedeuten?

Und meine letzte Frage: 

Wo liegen nun endgültig die allgemeinen Extrempunkte?

Sorry für so viele Fragen, aber ich komme da wirklich nicht so hinter. Schaue schon ein Video nach dem anderen und mache mir Lernzettel. Aber das hier verstehe ich leider noch nicht ganz.

Wäre dir wirklich sehr dankbar, wenn du mir das alles erklären könntest.

Antwort
von gilgamesch4711, 1

  Antwort auf deinen sehhr ausführlichen Kommentar.

 << Mit WP = Wendepunkt meinst du jetzt aber

 <<  generell erst einmal alle Extrempunkte,

<< weil sie der Graph dort logischerweise wendet, << richtig?

   Nein; hier müsstest du Nachhilfeunterricht nehmen. WP sind definiert als Extrema der ERSTEN ABLEITUNG bzw. Steigung. Z.B. zwischen ein Maximum und ein Minimum der Kurve muss immer ein WP fallen.

   Ein Extrempunkt kann auch nie identisch sein mit einem WP. Widerspruchsbeweis; dann wäre ja wegen Extremum die Steigung, die erste Ableitung gleich Null. Ein WP, in dem die erste Ableitung verschwindet, heißt ===> Terrassenpunkt ( TRP )

<< Ich habe das damals auch immer so gesagt,

  << bis wir die richtigen Wendepunkte

<< kennen gelernt haben.

<< Sprich die Punkte,

<< wo die Steigung am extremsten ist.

 <<  Seit dem ist der Begriff Wendepunkt

<< ein Tabu für  "normale" Hochpunkte etc.

  Wie du siehst: Du sollst dir gar nicht erst ewas Falsches angewöhnen.

 << Aber was meinst du nun mit 

  <<  x  (  min  )  =  x2;3  =  a    (  2  )

   Zunächst einmal. Ich nummeriere alle meine Gleichungen systematisch fort laufend ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ... so wie die richtigen Lehrbücher das auch haben. Bei mir sind es nämlich immer ziemlich viel Gleichungen; frag mal deinen Lehrer, wie das genau geht.

   Den Vorteil davon hast doch eindeutig du; wenn du eine Gleichung nicht verstehst, zitierst du nix weiter als ihre Nummer.

   Ich wenn euer Lehrer wäre. Ich tät jedem in der Klausur eine Note besser geben, als er verdient VORAUS GESETZT , er nummeriert sein Gelump und zitiert seine Gleichungen auch ( Die vier Kopfnoten; " Ordnung "  Habt ihr das noch? )

    Und jetzt zu deiner inhaltlichen Frage; deine Ausgangsfunktion war doch

 

     f  (  x  )  :=  x  (  x  -  a  )  ²      

(  2.1  )

 

   ( Ich schick jetzt erst mal ab, weil ich essen gehe. )

Antwort
von FuHuFu, 24

Du hast eine Funktionenschar mit dem Parameter a. Das heisst Du hast viele Funktionen, für jedes a eine. Aber die abhängige Variable ist immer nur das x. Das a betrachtest Du als Parameter.

Die Ableitung hast Du falsch ermittelt. Korrekt ist:

f '(x) = 3x² - 4ax + a²

Null setzen 

3x² - 4ax + a² = 0

Und dann Lösungsformel

x1/2 = 1/6 [ 4a +/- SQRT ( 16 a² - 4 3 a²) ]  = 1/6 [ 4a +/- SQRT (4 a^2)]

          = 1/6 ( 4 a +/- 2 |a| )

          x1 =  a     x2 = 2/3 a 

Kommentar von trolltheworld ,

Vielen Dank!

Nur mit der Schreibweise bei dem Editor komme ich noch nicht ganz klar.

Wofür stehen hier eckigen Klammern bzw. wieso sind dort überhaupt welche? 

SQRT... verstehe ich alles. Aber die eckige Klammer ergibt in meinem Köpfchen noch keinen Sinn. Ebenso steht bei meinem Versuch vor der Wurzel (also hier die 1/6) noch ax. Wie hast du das weg bekommen und wie bist du darauf gekommen?

Ich habe es so gemacht: 

http://www.mediafire.com/convkey/d996/2e5s4yfrzfz14s1zg.jpg

Kommentar von FuHuFu ,

SQRT = square root steht für Quadratwurzel  

1/6 = 1/2a

Statt der eckigen Klammern hätte ich auch runde setzen können. Aber ich finde geschachtelte Klammern sind übersichtlicher, wenn man für die äußeren Klammerrn eckige verwendet

Die Lösungsformel lautet dann so geschrieben 

x1/2 = 1/2a [ -b -/+ SQRT ( b^2 - 4 a c)]

Kommentar von trolltheworld ,

Ich bin wohl einfach zu dumm...

Also wie schon gesagt, ich frage mich halt wo die Klammer her kommt. Die pq-Formel geht schließlich -p/2 +/- usw.

Wieso hast du dann 1/2a (-b +/- ......)?

Also ich verstehe halt nicht wie da noch eine Klammer vor das +/- kommt, verstehst du was ich meine?

Ebenso weiß ich nicht ganz, wie du darauf gekommen bist :/ 

Hast du einen Lösungsweg? Oder war das irgendwie online Rechner oder wie bist du da nun drauf gekommen?

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