Frage von Ente73, 39

Wie berechne ich a^2+b^2=c^2, wenn c=1 ist?

Hallo zusammen

Ich habe die Frage etwas unklarer schon gestellt, ich versuche mich klarer auszudrücken. Im Einheitskreis haben wir ja bei 30Grad Phi/6, also 180 Grad durch 6 = 30 Grad. Wenn ich nun den pythagoräischen Satz anwende hätte ich ja a^2 (cosinus) + b^2 (sinus) =c^2 (Radius Einheitskreis =1). Wie kann ich durch einen Bruch das Verhältnis darstellen?

Was ist a? Was ist b?

Bitte so antworten, nicht mit sinus cosinus das kommt später.

Danke

lg E.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 21

Hallo,

der Sinn des Einheitskreises ist es, daß man an den Katheten sofort den Sinus bzw. den Kosinus ablesen kann, weil die Hypotenuse gleich 1 ist.

Unabhängig davon ergänzen sich die Quadrate von Sinus und Kosinus desselben Winkels immer zu 1. Wenn die Ankathete a ist, die Gegenkathete b und die Hypotenuse c, dann gilt: Sinus=b/c, Kosinus=a/c. Darauf den Satz des Pythagoras angewendet:

(a/c)²+(b/c)²=1, denn a²+b²=c², also ist (a²+b²)/c²=c²/c²=1

Beachte:

(a/c)²+(b/c)²=a²/c²+b²/c²=(a²+b²)/c²

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Ente73 ,

ok, aber wieso nicht einfach a^2+b^2=1, kann ich das nicht einfacher darstellen? Sinus ist das Verhältnis von b zu c dito cosinus von a zu c..

Kommentar von Willy1729 ,

Weil a²+b²=1 nur in einem rechtwinkligen Dreieck gilt, in dem a und b die Katheten sind und die Hypotenuse die Länge 1 hat. Genau dies ist im Einheitskreis gegeben. Das gilt aber nicht allgemein.

Allgemein gilt dies nur beim Sinus und beim Kosinus, weil sich das c² wegkürzt. Also: Wenn Du den Sinus und den Kosinus desselben Winkels quadrierst und addierst, kommt immer 1 heraus.

Kommentar von Ente73 ,

Hat es mit dem Kehrbruch zu tun? Quasi, wir stellen um auf eins?

Kommentar von Willy1729 ,

Mit dem Kehrwert hat das nichts zu tun.

Kommentar von Willy1729 ,

Du darfst den Sinus und den Kosinus nicht mit irgendwelchen Streckenlängen verwechseln. Sinus und Kosinus sind Zahlen, die man bekommt, wenn man die Länge einer Kathete durch die Länge der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck teilt. Wenn die Hypotenuse die Länge 1 hat - und zwar nur dann - entspricht die Länge der Gegenkathete dem Sinus, die Länge der Ankathete dem Kosinus des entsprechenden Winkels.

Willy

Kommentar von Ente73 ,

Ok, soweit klar, doch, wie komme ich bei 30Grad jetzt auf 0,5 Sinus? Habe ich richtig verstanden, dass das nun das Verhältnis von Gegenkathete zu Eins ist. Doch wie rechne ich es dann bei 60Grad ohne den Taschenrechner?

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