Frage von u1u1u1, 66

Wie berechne ich 2 Wendepunkte einer Funktion?

Hallo, die Funktion lautet f(t) = 0,125t^3 - 1,5t^2 + 4,5t + 4 die Aufgabenstellund dazu (1) Ermitteln Sie den Zeitpunkt von 0 bis 7 an dem die subjektive Leistungsfähigkeit von Frauke am stärksten abnimmt (0 steht für 8 uhr, 7 für 15 uhr usw.) Mein Lehrer meinte, damit ist der Wendepunkt gemeint, also hab ich diesen ausgerechnet W (4/6), so jetzt ist aber die (2) Aufgabe: Bestimmen Sie auch den Zeitpunkt im Zeitraum von 0 bis 7, an dem ihre Leistungsfähigkeit am stärksten zunimmt. Meine Frage ist jetzt, wie mache ich das? Ich hab ja schon einen Wendepunkt und dachte erst daran den negativen Wert davon einzusetzten, allerdings kommt da ein ganz seltsamer Wert heraus (der keinen Sinn ergibt) und jetzt weiß ichnicht wie ich weiter machen soll. Könnt ihr mir einen Tipp geben? Danke

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Eine Funktion 3. Grades hat nur einen Wendepunkt! Wie Du an die maximale (positive) Steigung im Bereich [0;7] kommst, hatte ich bereits beantwortet, aber die Frage wurde wohl gelöscht, mit welcher Begründung auch immer...

Antwort
von lprulzcrossover, 33

Das ergibt für mich keinen Sinn. Ich hätte erwartet, dass die da die Hoch- und Tiefpunkte haben wollen, denn die Funktion hat ja nur einen Wendepunkt.

Möchte man deinem Lehrer trotzdem glauben schenken und nimmt an, die Leistungsfähigkeit sinkt stärksten am Wendepunkt, dann würde ich sagen, dass sie am stärksten bei t = 7 zunimmt, also um 15Uhr (insofern nur das Intervall 0,7 betrachtet wird), da dort die Ableitung den höchsten Wert hat. Mehr gibt die Funktion in meinen Augen nicht her.

Um sicher zu gehen, solltest du mal die komplette Aufgabenstellung posten.

Antwort
von UrielKatzer, 12

Gesucht ist die maximale Abnahme des Funktionswertes der Funktion

f(t) = 0,125t^3 - 1,5t^2 + 4,5t + 4

im Intervall [0,7]

Einmal ableiten ergibt:

f´(t) = 0,375t² - 3t +4,5 

Dies ist die Funktion für Abnahme des Funktionswertes. Hat diese Funktion im betrachteten Intervall einen Extremwert? Zweite mal ableiten ergibt

f´´(t) = 0,75t - 3 = 0

t = 4

Wir prüfen ob eine Minimum oder Maximum vorliegt. Dritte mal ableiten ergibt

f´´´(t) = 0,75 >0 d.h. es liegt tatsächlich ein Minimum zum Zeitpunkt 4 vor.

7+5 = 11 Uhr und nen bisschen blabla, dann hast du die Lösung.

Kommentar von UrielKatzer ,

D.h. die Leistungsfähigkeit ist um 11 Uhr am größten, nimmt danach aber auch am schnellsten wieder ab.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 10

y=f(x)=0,125 *x^3 - 1,5 *x^2 +4,5 *x +4

abgeleitet f´(x)=0,375 *x^2 - 3 *x +4,5 nochmal abgeleitet

f´´(x)=0,75 *x - 3 Nullstelle bei x=4 dies ist gleichzeitig auch der Wendepunkt

Die stärkste Abnahme der Leistung ist dort,wo die Steigung am negativsten ist

dies ist dort,wo bei der Funktion f´(x)=0,375 *x^2 - 3 *x +4,5 ein "Minimum" vorliegt und das ist bei x=4

Der maximale Leistungsanstieg,liegt dort wo die Steigung der Funktion maximal wird und das ist bei x=7

f´(7)=0,375 *x^2 - 3 * 7 +4,5=1,875

TIPP : Besorge dir privat einen Graphikrechner (Casio),wie ich einen habe.Mit den Rechner,habe ich diese Aufgabe gerechnet.

Die Adressen der Hersteller findest du,wenn du im Suchfeld (Internet) "Grapgikrechner" eingibst.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

f(t) = 0.125 * t ^ 3 - 1.5 * t ^ 2 + 4.5 * t + 4

f´(t) = 0.375 * t ^ 2 - 3 * t + 4.5

f´´(t) = 0.75 * t - 3

f´´´(t) = 0.75

Nullstellen der 2-te Ableitung f´´(t) berechnen -->

0.75 * t - 3 = 0 | + 3

0.75 * t = 3 | : 0.75

t = 4

Weil f´´´(4) ≠ 0 ist, deshalb ist an der Stelle auch wirklich eine Wendestelle.

Das setzt du jetzt noch in f(t) ein -->

f(4) = 0.125 * 4 ^ 3 - 1.5 * 4 ^ 2 + 4.5 * 4 + 4 = 6

Wendepunkt (4 | 6)

Kommentar von Rhenane ,

den einen Wendepunkt hat er doch schon...

Kommentar von DepravedGirl ,

Achso, ok, dann hatte ich die Frage falsch verstanden. Es gibt nur diesen einen Wendepunkt.

Kommentar von Wechselfreund ,

Stellen extremer Steigung können auch am Rand liegen, obwohl dort kein Wendpunkt sein muss...

Antwort
von Wechselfreund, 14

Sieh nochmal nach, ob nicht der Definitionsbereich eingeschränkt ist. Dann musst du dort die Steigungen vergleichen.

Antwort
von Ottavio, 17

Funktionen dritten Grades wie diese haben oft zwei Wendepunkt. Den einen hast Du schon berechnet, also berechne nun den anderen. Der ist es !

Kommentar von Ottavio ,

Nein, ich habe mich geirrt, es gibt natürlich nur einen Wendepunkt. Wenn es keine Grenzen gibt, ist die Aufgabe also nicht lösbar. Pardon!

Antwort
von SabrinaLiv, 39

Den Wendepunkt berechnet man mit der 2.Ableitungsfunktion. 

Zunächst die Notwendige Bedingung:f''(t)=0

Dann,wenn du die Nullstellen der Funktion hast,brauchst die Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechselkriterium/VZW

Du schreibst die Intervalle auf und setzt einen Wert,der zwischen den beiden steht(Bspw '(minus unendlich;-2)'),in f''ein(bspw: f''(-3)).

Dann hast du ein positives/negatives Ergebnis und bei einem VZW von - nach + hast du einen Tiefpunkt,bei + nach - einen Hochpunkt. Dann setzt du die x-Werte,also die Werte der Nullstellen der 2.Ableitung in f'(x) ein.

Ich bin mir nicht ganz sicher,wie man das rechnet,aber das ist das Prinzip davon,da man nur,im Gegensatz zur Berechnung der Extrema,f''(x) nutzt

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