Frage von AnonyJS, 104

Wie begründet man logisch das die Leere der Leeren Menge in jeder Menge enthalten ist (Teilmenge)?

Die leere Menge: { }

Sonst hat man zwei Mengen A und B z.B:

A = {1,2,3} B = {1,2,3,4}

Man kann eindeutig sehen das 1,2,3 in B enthalten sind... also Elemente davon sind.

Wie ist das nun bei:

A = { } B = {1,3,2,4}

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Ich würde das folgendermaßen begründen:

Sei M eine beliebige Menge, so gilt:

M ∪ {} = M

Daraus folgt: {} ⊂ M

Da die Menge M beliebig ist, gilt diese Beziehung für jede Menge.

{∅} ⊂ M ist natürlich auch korrekt.

Das ist aber nur eine logische Erklärung, kein Beweis!

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von Melvissimo ,

{∅} ⊂ M ist natürlich auch korrekt.

Also für mich zumindest sieht das ziemlich falsch aus; etwa {∅} ⊂ { } stimmt nicht: die linke Menge enthält ein Element (nämlich die leere Menge), die rechte Menge aber nicht.

Deine logische Erklärung hingegen ist tatsächlich ein waschechter Beweis. Es lässt sich nämlich leicht zeigen:

Sind A und B Mengen und ist A ∪ B = A, dann ist B ⊂ A.

(Wäre das nicht der Fall, so wähle ein x aus B, das nicht in A liegt. Dann läge x in A ∪ B, aber nicht in A; also könnten die Mengen nicht gleich sein).

Kommentar von Willibergi ,

"Deine logische Erklärung hingegen ist tatsächlich ein waschechter Beweis."

Damit kann ich leben - aus Versehen bewiesen. ^^

LG Willibergi

Kommentar von SlowPhil ,

{∅} ⊂ M ist natürlich auch korrekt.

Im Allgemeinen nicht, M muss die Leere Menge als Element enthalten. Immer korrekt ist hingegen

∅ ⊂ M.

Antwort
von Melvissimo, 34

Sei M eine Menge. 

Angenommen, { } wäre keine Teilmenge von M. 

Dann gäbe es ein Element x in { }, das kein Element von M ist. Aber es gibt überhaupt kein x in { }, daher ist das unmöglich (Widerspruch).

Da unsere Annahme zu einem Widerspruch führt, muss sie falsch sein. Daher ist { } eine Teilmenge von M.

Antwort
von iokii, 66

Du musst zeigen, dass "x€{} =>x€A" für beliebige Mengen A. Da x€{} nie wahr ist, ist die Aussage wahr, da implikationen immer wahr sind, wenn die erste Aussage falsch ist.

Kommentar von Tannibi ,

Klingt wie das berühmte "Ex falso aliquid".

Aber sollte aus einer falschen Aussage nicht gar nichts
folgen anstatt alles?

Kommentar von iokii ,

Ne, die Implikation sagt ja, was passiert, wenn die Aussage wahr ist. Und wenn die Aussage nie wahr ist, kann man da nichts falsches sagen.

Kommentar von SlowPhil ,

Klingt wie das berühmte "Ex falso aliquid".

'aliquid' geht auch, aber ich kenne den Spruch mit 'quodlibet'.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Wie wär's, du erklärst mal, bis wohin du die Antworten zu den sehr ähnlichen Fragen, die du schon hierzu gestellt hast, verstanden hast?

Zur Antwort:

A heißt genau dann eine Teilmenge von B, wenn:

- du nimmst dir der Reihe nach alle x vor. (Aus dem Grundbereich - ohne Bereichseinschränkung geht's nicht - sonst kriegen wir irgendwann die Russelsche Antinomie.)

- du prüfst, ob dieses x ein Element von A ist.

- falls nein: du bist mit diesem x fertig

- falls ja:

- du prüfst, ob dieses x ein Element von B ist

- falls ja: du bist mit diesem x fertig

- falls nein: Du hast ein Gegenbeispiel gefunden. A ist keine Teilmenge von B. Du kannst dir die Prrüfung der übrigen x sparen.

- wenn du mit allen x fertig bist und kein Gegenbeispiel gefunden hast, dann ist A eine Teilmenge von B.

Antwort
von FouLou, 39

Nimm mal alle elemente aus B die NICHT in A enthalten sind. Was bleibt über? A.


Das ganze geht natürlich nur wenn A eine teilmenge ist. Ansonsten ist danach A != B

EDIT: beispiel:
A = {1,2,3,5} B= {1,2,3,4} == B={1,2,3} != A  -> A ist also keine teilmenge von B

Wenn wir das ganze auf
A = {} und B={1,2,3,4} anweden kommt:
A ={} und B={} a und b Sind identisch. Ergo ist a eine Teilmenge von B

Kommentar von FouLou ,

Anmerkung: Da die Leere Menge nie ein Element Enthalten wird müssen wir bei einer Vergleichmenge IMMER alle elemente entfernen. Somit gilt das Die Leere Menge auch teilmenge einer jeden anderen menge ist.

Antwort
von iikkeeaa, 56

Geht nicht , ist einfach so
Ist "Inkompatibilität
"

Kommentar von AnonyJS ,

Dann wäre aber die leere Menge keine Teilmenge.

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