Frage von BlueMonster, 29

Wie ändere ich die Normalform zur Scheitelpunkt Form, normalform zur faktorisierten Form und umgekehrt?

Ich weiß wie man damit rechnet, weiß aber nicht wie ich das eine zum anderen auflöse, also wenn ich die Normalform hab aber den Scheitelpunkt brauch

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 11

Hallo,

wenn Du eine Parabel in Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln möchtest, benutzt Du entweder eine Formel oder Du leitest die Sache mit Hilfe der quadratischen Ergänzung selbst her.

Nehmen wir als Beispiel die Funktion f(x)=2x²+4x-3

Zunächst klammerst Du die 2 aus, die vor dem x² steht, wobei Du die -3 am Ende erst mal in Ruhe läßt:

2(x²+2x)-3

Ich habe die 2 nur aus den Ausdrücken mit x ausgeklammert, nicht aus der 3. Deshalb ist es ganz wichtig, daß Du x²+2x in eine Klammer setzt und die -3 außen vor läßt.

In der Klammer steht nun vor dem x eine 2. Diese 2 halbierst Du zunächst:

2/2=1. Diese 1 wird nun quadriert: 1²=1

Das Ergebnis kommt nun mit in die Klammer:

2(x²+2x+1)-3

So kannst Du das aber nicht stehenlassen. Du kannst nicht einfach irgendwo eine 1 addieren und so tun, als sei nichts geschehen.

Zum Glück läßt sich dies wieder ungeschehen machen, indem Du die 1 einfach wieder subtrahierst:

2(x²+2x+1-1)-3

Da +1-1=0 ist, hast Du durch die Aktion letzten Endes nichts verändert.

Jetzt könnte man sagen: Was soll das? Erst addiere ich eine 1, dann ziehe ich sie gleich wieder ab? Hätte ich mir doch sparen können.

Nicht ganz:

Wenn Du die ersten drei Summanden in der Klammer betrachtest, siehst Du vielleicht einen alten Bekannten in Gestalt der ersten binomischen Formel:

a²+2ab+b²=(a+b)²

Genau das hast Du hier: Dein a ist das x, Dein b ist die 1.

Dann ist a²=x² und b²=1 und 2ab ist 2*x*1, also 2x

Du kannst dies x²+2x+1 also gemäß der ersten binomischen Formel als
(x+1)² aufschreiben.

Warum dies ungemein praktisch ist, erzähle ich gleich.

Jetzt lautet die Funktion:

f(x)=2[(x+1)²-1]-3

Nun stört nur noch die -1 in der Klammer. Die schmeißen wir einfach raus (sie hat die Miete nicht bezahlt).

Aber Vorsicht: Du darfst die -1 nicht einfach so hinter die Klammer setzen.

Vor der Klammer steht eine 2, was bedeutet, daß alles in der Klammer mit 2 multipliziert werden muß, wenn man die Klammer auflöst oder Teile aus der Klammer herausnimmt.

So wird aus der -1 in der Klammer eine 2*(-1)=-2 außerhalb der Klammer:

f(x)=2(x+1)²-2-3=2(x+1)²-5

Dies endlich ist di berühmte Scheitelpunktform, die deswegen so heißt, weil Du nun direkt den Scheitelpunkt ablesen kannst: S=(-1|-5)

Für die x-Koordinate nimmst Du die Zahl ohne x, die in der Klammer steht un tauschst ihr Vorzeichen um: aus Plus wird Minus, aus Minus wird Plus; die Zahl hinter der Klammer ist die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

Hast Du einmal keine Lust auf quadratische Ergänzung, nimmst Du einfach folgende Formel für den Scheitelpunkt:

Wenn eine Funktion die Form f(x)=ax²+bx+c hat, dann hat der SCheitelpunkt die Koordinaten (-b/(2a)|(4ac-b²)/(4a))

Probier es aus: f(x)=2x²+4x-3

a=2; b=4; c=-3

Scheitelpunkt: (-4/(2*2)|(4*2*(-3)-4²)/(4*2)) Das ergibt:

(-1|(-40)/8)=(-1|-5) Genau das Ergebnis, was wir schon mit der quadratischen Ergänzung herausbekommen haben, was nicht weiter verwunderlich ist, weil die Formel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung aus der Allgemeinform entstanden ist.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 9

Wenn ich mich richtig erinnere:

y = a x^2 + b x + c           Normalform

y = r (x - x_S)^2 + y_S    Scheitelpunktform

y = s (x - x_1) (x - x_2)    faktorisierte Form

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Was immer funktioniert (und von den Lehrern auch am ehesten akzeptiert wird): Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich.

-- Normalform: ist schon ausmultipliziert

y = a x^2 + b x + c

-- Scheitelpunktform:

y = r x^2 + 2 r x x_S + r x_S^2 + y_S

Sortiert nach Potenzen von x:

y = (r) x^2 + (2 r x_S) x + (r x_S^2 + y_S)

-- faktorisierte Form:

y = s x^2 - s x x_2 - s x_1 x + s x_1 x_2

Sortiert nach Potenzen von x:

y = (s) x^2 + (-s x_2 - s x_1) x + (s x_1 x_2)

Die Vorfaktoren von x^2 und x und das absolute Glied (das ohne x) müssen für jede Form gleich sein. D. h.

a = r = s 

b = 2 r x_S = -s x_2 - s x_1

c = r x_S^2 + y_S = s x_1 x_2

Diese Gleichungen löst du jeweils nach den gesuchten Größen auf.

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Was du außerdem machen kannst:

Setze für x drei verschiedene Zahlenwerte ein

Dann bekommst du Gleichungen mit weniger Parametern und mehr Zahlen.

Aber es funktioniert genauso.

Kommentar von PWolff ,

Errata:

Ich habe bei der Scheitelpunktform in den Rechnungen das falsche Vorzeichen genommen.

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verschiedene Darstellungsformen:

y = r (x - x_S)^2 + y_S Scheitelpunktform -- ist noch richtig

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Ausmultiplizierte Formen

-- Scheitelpunktform:

y = r x^2 - 2 r x x_S + r x_S^2 + y_S

Sortiert nach Potenzen von x:

y = (r) x^2 - (2 r x_S) x + (r x_S^2 + y_S)

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Gleichungssystem:

a = r = s

b = -2 r x_S = -s x_1 - s x_2

c = r x_S^2 + y_S = s x_1 x_2

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