Frage von kubota91, 52

Wie addiert man x^-1 + x^-2 + x^-3..... bis z.B. x^-10?

wie addiert man eine zahlenfolge von z.B X Potenz hoch -1 bis hoch -10 ? im Taschenrechner ist das eine ziemlich nervige Angelegenheit. Kennt jemand einen Trick?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 29

Das ginge zunächst nur mit einem Summenzeichen. Das bringt rechnerisch aber gar nichts, sondern ist nur eine definitorische Vereinfachung, die ich hier bei GF sowieso nur ganz schwer darstellen könnte (Nutzung von mehreren Zeilen wegen der Laufindizes).

Zum Rechnen ist ggf. ein sukzessives Ausklammern nützlich, das ich jetzt aber nicht bis 10 durchführen werde. Das ist zu aufwändig, aber beispielhaft bis 3 geht es auch hier ganz gut.

x^-1 + x^-2 + x^-3 = 1 / x + 1 / x² + 1 / x³       in Brüche umgeformt
                            = 1/x (1 + 1/x + 1/x²)         1/x ausgeklammert
                            = 1/x (1 + 1/x (1 + 1/x))     dasselbe beim Rest
                                                                     und so weiter, wenn mehr da ist

Antwort
von FataMorgana2010, 13

In diesem Fall gibt es sogar eine geschlossene Formel, das ist nämlich eine geometrische Reihe (genauer: die Partialsumme einer geometrischen Reihe). Die berechnet sich als 

q^0 + q^1 + ....  + q^n = (1-q^(n+1))/(1-q)

In deinem Fall alos

(1/x)^0 + (1/x)^1 + ... + (1/x)^10 = (1-(1/x)^11) / (1-1/x)

Deine Summe fängt ja erst mit dem zweiten Glied an, also hinterher 1 abziehen!

Antwort
von SelfEnergy, 34

Das Stichwort ist die geometrische Reihe.

q^k aufsummiert von k=0 bis k=n ergibt fuer q ungleich 1

(1-q^(n+1))/(1-q)

Fuer deine Anwendung ergibt muss noch die eins von k=0 abgezogen werden und man erhaelt

(q-q^(n+1))/(1-q)

Einsetzen von q=1/x und n=10 ergibt nach etwas Vereinfachen:

(x^10 - 1)/(x^11 - x^10)


Beweis der Idenitaet die ich oben verwendet habe geht mit z.B. vollstaendiger Induktion. Auf wikipedia ist zur geometrischen Reihe auch ein direkter Beweis der Identitaet angegeben (zu finden bei geometrische Reihe unter Herleitung der Formel für die Partialsummen).

Antwort
von QuestionTobi, 40

Ich denke das geht nicht einmal, nach den Rechenregeln.

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