Frage von Nedam, 61

Widersprichst sich in dem Fall nicht eine Allaussage (Logik)?

Man sagt für Allaussagen das wenn der erste Teil leer ist, so die darauf folgende Aussage immer wahr ist.

Beispielsweise: ∀ x ∈ { } : x ∈ M

Dies wäre ein Beispiel aus der Mathematik, die Aussage ist natürlich richtig. Es wird bei einer Allaussage ja nie eine Existenz vorausgesetzt, im Unterschied zur Existenzaussage.

Wenn jetzt da stehen würde:

∀ x ∈ { } : x ist doof

So ist die Aussage richtig.

Wenn da steht:

∀ x ∈ { } : x ist nicht doof

So soll die Aussage auch richtig sein.

Widerspricht sich doch. Also muss eine Aussage falsch sein, da die erste eindeutig richtig ist, muss die zweite Allaussage falsch sein. Nach der obrigen Annahme ist das aber falsch. Also ist die Annahme widerlegt?

Kann mir jemand nochmal genau erklären warum für solch eine Allaussage ∀ x ∈ { } : x: das was für x gilt immer richtig ist?

Nun zu Existenzaussagen. Zum ersten Beispiel wäre die Existenzaussage:

∃ x ∈ { }: x ∉ M

Die Aussage ist falsch. Man findet einfach kein x in { } das x nicht in M sein kann.

Bei jeder Existenzaussage geltet, das wenn eine Existenz vorausgesetzt wird die nicht existiert die Aussage für diese falsch ist. Klar, weil sie nicht existiert.

Daraus folgt auch das die Allaussage korrekt ist.

Nun zu: ∀ x ∈ { } : x ist doof

Die Existenzaussage dazu:

∃ x ∈ { }: x ∉ doof ist

Die Aussage ist falsch und damit eindeutig die Allaussage richtig.

Bei:

∀ x ∈ { } : x ist nicht doof bzw: ∀ x ∈ { } : x ∉ doof

Die Existenzaussage: ∃ x ∈ { }: x ∈ doof

Nach der Aussage das wenn die Existenz von etwas vorausgesetzt wird das nicht existiert, die darauf folgende Aussage falsch ist, wäre widerlegt wenn diese Aussage richtig ist. Wenn sie aber falsch ist, so wäre die Allaussage davon richtig und würde damit einer anderen widersprechen.

Klingt für mich paradox und leider weiß ich nicht mehr weiter, die Aussage müsste doch falsch sein. Irgendwie blicke ich da nicht ganz durch. Auf jeden Fall muss die Aussage eigentlich richtig sein. Scheint aber für mich eindeutig falsch zu sein.

Ich bedanke mich für jegliche Hilfe.

Nochmal alles im Überblick und meine konkreten Fragen:

∀ x ∈ { } : x ist irgendwas... Wieso immer richtig?

∀ x ∈ { } : x ist nicht irgendwas... Wieso immer falsch?

∃ x ∈ { } : x ist nicht irgendwas... Wieso immer falsch?

∃ x ∈ { } : x ist irgendwas... Wieso immer richtig?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 26

Die Allaussagen sind alle richtig. Dein kleiner Fehler liegt darin, dass du denkst, dass die Aussagen sich gegenseitig ausschließen, was sie nicht tun!

Das Prinzip TND (Tertium non datur) besagt, dass genau eine der folgenden Aussagen richtig ist, entweder eine Aussage oder ihre Dualaussage. Bemerke, dass die von dir beschriebenen Allaussagen nicht dual zueinander sind, denn aus dem Allquantor würde ein Existenzquantor werden. Beide Allaussagen sind wahr, und beide Existenzaussagen sind falsch (weil sie die Dualaussagen der oberen wahren Aussagen sind, und weil sie die Existenz eines Elementes der leeren Menge vorhersagen).

Generell gilt immer: Für alle x element der leeren Menge: A(x), wobei A eine beliebige Aussage ist.

Würde dies nicht gelten, so wäre nach TND die Dualaussage wahr, diese würde lauten: Es existiert ein x element der leeren Menge (!): -A(x).

LG

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 7

Das ist dass Dilemma mit der leeren Menge.

∀ x ∈ { } : x ist (nicht) irgendwas...

Für alle x, die Elemente der leeren Menge sind, gilt...

Diese Elemente gibt es nicht.

Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder anderen Menge. Da sie keine Elemente enthält, ist die oben stehende Aussage immer wahr. Du kannst über die Elemente der leeren Menge (die es nicht gibt) nichts Falsches aussagen.

∃ x ∈ { } : x ist (nicht) irgendwas...

Es existiert ein x, das Element der leeren Menge ist.
Nein, das tut es nicht. Die leere Menge enthält keine Elemente, insofern ist diese Aussage falsch.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von ProphetMerlin, 12

Ich versuche die Logikoperatoren mal in verständliches Deutsch zu übersetzen, vielleicht verstehst du dann, wieso dies so ist:

Die Leere Menge bezeichnen wir hier als: Alle Ecken einer Kugel (diese Menge ist leer).

Die Aussage ∀ x ∈ { } : x ∈ M Ist demnach: Für alle Ecken einer Kugel gilt: Der Ecken ist rot.
Diese Aussage ist sicher richtig, denn es gibt keinen Ecken einer Kugel, der eben nicht rot ist.
Aber auch die Aussage: ∀x ∈ { }: x ∉ M, also alle Ecken einer Kugel sind blau, denn es gibt ja keinen Ecken, der nicht blau ist.

Somit sind eben beide Aussagen wahr, obwohl sie sich zu widersprechen scheinen.

Das gleiche Spiel können wir noch mit dem Existenzoperator spielen:∃ x ∈ { }: x ∉ M

Es gibt einen Ecken der Kugel, welcher rot ist.
Diese Aussage ist sicher falsch, denn es gibt eben keinen Ecken der Kugel, ganz egal welcher Farbe.

Ich hoffe ich konnte das Problem ein wenig lüften. Meine Darstellung ist jedoch nicht ein Beweis, sondern vielmehr eine Motivation. Diese Aussagen lassen sich nicht beweisen, sondern sie werden in der Logik als Axiome angenommen.

Antwort
von lks72, 27

Beide Allaussagen sind richtig. Alle x aus der leeren Menge sind doof, das ist richtig, aber überflüssig , da es kein solches x gibt. Genauso ist dieser nicht existente natürlich nicht doof, völlig gleich.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 14

Ist doch alles ziemlich doof.
SCNR

Antwort
von AntonJJ, 33

Für jedes x aus leerer Menge gilt folgendes:

=

Für gar kein x gilt folgendes:

Also kann man sagen, dass man für kein x sagen kann, dass es doof ist, als auch, dass man für kein x sagen kann, dass es nicht doof ist.

Es ist das Unwissen ;)

Wie bei Implikation <-> Äquivalenz

Eine Implikation ist nur falsch, wenn A wahr ist und B falsch.

Kommentar von Nedam ,

Also:

∀ x ∈ { } : x ist nicht irgendwas... ist richtig, genauso wie:

∀ x ∈ { } : x ist irgendwas... ist richtig. Es kann doch nicht gleichzeitig gelten das Gott existiert und nicht existiert oder das x Element einer Menge ist, wie auch nicht Element einer Menge ist...

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