Frage von TimsenHimsen, 12

Wer kennt sich mit algebra aus?

Ich habe die Aufgabe zu beweisen, dass es nur eine Gruppe der Ordnung 3 geben kann (bis auf die Isomorphie). Also dass man nur eine Möglichkeit hat drei Elemente zu verknüpfen, sodass eine Gruppe heraus kommt.

Wie kann ich das beweisen? danke im voraus! lg timsen

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

3 ist eine Primzahl, damit muss jede Untergruppe einer Gruppe mit 3 Elementen entweder 1 Element oder 3 Elemente haben - die Gruppe hat also keine echten Untergruppen. (Teilersatz für Untergruppen)

Wenn irgendein Element, das nicht das neutrale ist, eine andere Untergruppe erzeugen würde, wäre das eine echte Untergruppe (Widerspruch). Also erzeugt jedes Element, das nicht das neutrale ist, die komplette Gruppe.

Eine Gruppe, die von einem einzigen Element (ungleich neutralem Element) erzeugt wird, heißt zyklisch. Man kann leicht zeigen, dass alle zyklischen Gruppen mit gleicher Elementeanzahl untereinander isomorph sind.

Diese Überlegung gilt übrigens für jede Primzahl.

Im Fall von 3 Gruppenelementen kannst du auch systematisch alle möglichen Verknüpfungen durchprobieren - das ist in diesem Fall vermutlich weniger Aufwand. (Es sei denn, du brauchst obiges Lemma später noch mal, dann musst du es sowieso irgendwann mal beweisen, und machst das am besten gleich.)

Antwort
von Roderic, 12

Mit der Eindeutigkeit des neutralen Elements. Es kann nur eins geben.

Kommentar von PWolff ,

Es gibt aber 2 verschiedene Gruppen mit 4 Elementen.

Antwort
von iokii, 12

Man zeigt, dass alle Gruppen der Ordnung 3 isomorph zu Z/3Z sind.

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