Frage von Volleyball69, 42

Wer kann mir beim Lösen dieser Gleichung helfen 1/(1+a) + 1/(1+b) = 4/3 und gleichzeitig ist a+b=2?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Plokapier, 11

a + b = 2?

Das ist sehr simpel. Da bietet es sich an, diese nach einer Variablen umzustellen und damit weiterzuarbeiten.

Sagen wir also einfach mal nach Äquivalenzumformung

b = 2 - a

Das setzen wir in die erste Gleichung ein.

1 / (1 + a) + 1 / (1 + (2 - a)) = 4/3

1 / (1 + a) + 1 / ( 3 - a) = 4/3

An diesem Punkt wird es verzwickt. Hier muss man beide Brüche jeweils erweitern, um die Summanden auf denselben Nenner zu bringen und so weiterarbeiten zu können...

Es ist keine Äquivalenzumformung, wohlgemerkt!

[ (3-a) / (1+a)(3-a) ] + [ (1+a) / (1+a)(3-a) ] = 4/3

[(3-a) + (1+a) ] / [(1+a)(3-a)] = 4/3

Das multiplizieren wir mit (1+a)(3-a) auf beiden Seiten. (Äquivalenzumformung)

(3-a) + (1+a) = 4/3 * [(1+a)(3-a)] auf der linken Seite wird +a -a zu 0

4 = 4/3 * [(1+a)(3-a)] auflösen

4 = 4/3 * (3 - a +3a - a²)

4 = 4/3 * (-a² + 2a +3) | / (4/3) 

3 = -a² + 2a + 3  | -3

-a² + 2a = 0

So, hier kannst du dein Wissen, Nullpunkte von Funktionen zu bestimmen anwenden. Zunächst können wir faktorisieren.

a * ( a + 2) = 0

Wann stimmt dieser Ausdruck? 

1. Entweder wenn a = 0 ist, denn wenn man etwas mit 0 multipliziert wird es ja automatisch null, oder?

2. Wenn a = 2 ist. Denn 2-2 ist ja null und dann multiplizeiren wir wider mit null.

Also ist deine Lösung

a1 = 0
a2 = 2

Das in die zweite Gleichung einzusetzen ist nun ziemlich einfach.

(Es kommen jeweils zwei Lösungen für b für deine a's heraus)

(Seltsam, so etwas habe ich noch nie gesehen...)

b = 2 - a

b1 = 2 - a1 = 2-0 = 2

b2 = 2 - a2 = 2-0 = 0

Endgültige Antwort:

Also kannst du für a und b ENTWEDER

a1 = 0 und b1 = 2

ODER

a1 = 2 und b2 = 0 einsetzen.

(Probe klappt auch.)




Kommentar von Plokapier ,

Hui, so ganz trivial war das jetzt nicht :D

Kommentar von Volleyball69 ,

Endlich...ich habe den Button für ein super DANKESCHÖN gefunden. Geniale Antwort...perfekte Lösung!!! Falls  ich noch ein Button drücken muss, bitte Bescheid sagen ...mit Bedienungsanleitung...Grins!!!

Kommentar von Plokapier ,

freut mich, dass ich helfen konnte ^^

Kommentar von Plokapier ,

Du kannst hier generell (ich glaube nach einem Tag oder so) für jede deiner Fragen die "hilfreichste Antwort" auswählen.

Das ist insofern sinnvoll, als das andere Benutzer, die vielleicht dieselben Fragen haben mit einem Blick auf die Antworten die richtige sehen, denn "hilfreichste Antworten" werden farblich markiert und ganz oben bei der Frage angezeigt.

Wenn du also denkst, dass meine Antwort die hilfreichste war, kannst du das machen, aber diese Frage hat eh nicht zu viele Antworten und ich mach mir auch nichts draus... nur ne Anmerkung, solltest du hier in Zukunft weitere Fragen stellen, die viele Antworten bekommen...

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 3

1/(1+a) + 1/(1+b) = 4/3   |  Hauptnenner
a + b                    =    2
                                                  
erst mal in Glg. 1 weiter rechnen; erst Hauptnenner links bilden

((1+b) + (1+a)) / ((1+a)(1+b)) = 4/3    | über Kreuz multipliziewren 
3 (1 + b + 1 + a) = 4 ((1+a)(1+b))       | zusammenfassen
3 (a + b + 2)       = 4 (1 + a + b + ab)  | ausklammern
3a  +  3b  +  6    =  4 + 4a + 4b + 4ab | sortieren
-a - b + 4ab        =  -2                          | Kunstgriff, da a + b = 2 einsetzbar
-(a + b) + 4ab    =  -2

Nunmehr Gleichung 1       -2 + 4ab = -2      | +2
                                                 4ab =  0
Gleichung 2                           a + b  = 2       | -a
                                                    b   = 2 - a

Dies einsetzen in Glg. 1        4a (2 - a) = 0  | /4
                                                a (2 - a) = 0  | Satz vom Nullprodukt    2 Fälle

1, Fall    a = 0      daraus resultierendes b aus Glg. 2          b = 2
2. Fall    a = 2                                                                       b = 0

Wir haben also zwei Lösungspaare:
IL = { (0 ; 2) , (2 ; 0) }

Auch 0 ist eine normale Zahl.
Es kann auch zu keiner Division durch 0 führen, als sind beide Lösungen gültig.

Ich weiß jetzt nicht, ob diese Lösung schneller war als die andere,
aber sie ist formaler.
Geschmackssache!

Antwort
von Plokapier, 22

Du hast zwei Unbekannte, das heißt, es gibt hier keine eindeutige Lösung.
Da du zwei Unbekannte hast, bräuchtest du auch zwei Gleichungen...

Du kannst höchstens eine Lösung angeben, in der die eine Variable von der anderen abhängt.

Kommentar von Volleyball69 ,

Entschuldige bitte...ich hatte etwas vergessen dazu zuschreiben:

Ebenso gilt:

a+b=2

(Ich bin neu hier und wußte nicht genau wie das geht...sorry...viellen Dank für deine schnelle Antwort)

Kommentar von Plokapier ,

Ich schreibe das mal als ganze Antwort...


Antwort
von Folon, 24

1/(1+a) + 1/(1+b) = 4/3
1/(1+a) = 4/3 - 1/(1+b)
1+a = 1/(4/3 - 1/(1+b))
a = 3(1+b)/(1+4b) - 1

Kommentar von Volleyball69 ,

Entschuldige bitte...ich hatte etwas vergessen dazu zuschreiben:

Ebenso gilt:

a+b=2

(Ich bin neu hier und wußte nicht genau wie das geht...sorry...viellen Dank für deine schnelle Antwort)

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