Frage von automatisch11, 65

Wer kann mir bei dieser Matheaufgabe den Zwischenschritt erklären?

habe leider schon ewig lange gegoogelt aber ich kann besonders den letzten Schritt nicht nachvollziehen, wie man auf 1/2 kommt. Wäre super wenn jemand auch direkt das passende Gesetz dazu hätte, danke!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von flori85, 37

Im ersten Schritt wurde n^3 ausgeklammert, und im zweiten Schritt wurde das gekürzt, weil es oben und unten im Bruch auftaucht.

Die 1/n bekommst du, weil 6*n^2 durch n^3 geteilt eben 6 * 1/n ergibt, oder einfacher gesagt 6/n.

Es passiert also folgendes:

n^3 - 6*n^2 = n^3 * (1 - 6 * 1/n)

und

2*n^3 + 4*n^2 =  n^3 * (2+4/n). Rechne die beiden Zeilen mal von links nach rechts, dann siehst du, dass man das problemlos machen kann. 

Kommentar von flori85 ,

Am Ende überlegst du dir dann, was passiert, wenn n immer größer wird. Nichts anderes bedeutet n -> ∞. 

Dann hast du einmal den Term 1 - 6/n und einmal 2 + 4/n.

Wenn n immer größer wird, werden die Brüche 6/n und 4/n immer kleiner, sie nähern sich der 0 an. Also kannst du sie bei der Betrachtung weglassen. Übrig bleibt die die 1 und die 2. Du bekommst also 1/2 heraus.

Ich hoffe, dass das verständlich ist.

Kommentar von automatisch11 ,

Danke, den Zwischenschritt habe ich verstanden!Also ist es in solchen Fällen immer egal, ob -6 und 4 vor den n-Brüchen stehen, weil man diese sowieso immer weglässt? Was sagt das 1/2 in diesem Fall eigtl genau aus?

Kommentar von flori85 ,

Das 1/2 ist der Grenzwert deiner Folge, wenn du n gegen unendlich laufen lässt. Weiter bedeutet es erstmal nichts. 

Die -6 und 4 kannst du in diesem Fall weglassen, weil im Vergleich eine Zahl, selbst wenn es eine Million wär, viel viel kleiner als n ist. Und dann ist es eben 0. Du betrachtest das n in dem Fall als wachsend, da interessiert nicht, dass 6/1, 6/2 usw nicht 0 sind, sondern was passiert wenn du eben ins unendliche gehst.

Andersherum bei n/6 würde der Grenzwert nicht existieren, weil n immer weiter wächst, und der Bruch/ die Folge dann gegen unendlich geht. Und da unendlich keine Zahl ist, ist es auch kein Grenzwert. (Auch wenn man manchmal so tut als ob.)

Antwort
von Rubezahl2000, 14

Es geht um Grenzwert-Berechnung bei der Folge a(n).
Ziel der Umformungen ist es, dass das n nur noch als einzelner Nenner in einzelnen Brüchen auftaucht.
Warum ist das das Ziel? Weil man weiß, dass jeder einzelne Bruch, wo nur n im Nenner steht und n nicht im Zähler auftaucht, dass so ein Bruch immer gegen 0 konvergiert für n→∞.

Von der 1. Zeile zur 2. Zeile wurde n³ ausgeklammert, damit n³ dann weggekürzt werden kann und n dann nur noch in Form von 1/n übrig bleibt (Das ist das Ziel der Umformung!).

In der 3. Zeile ist das n³ weggekürzt und in dem verbleibenden Term macht man die Grenzwertbetrachtung für n→∞:
1/n konvergiert gegen 0, deshalb konvergieren auch im Zähler 6•1/n und im Nenner 4•1/n gegen 0 (weil 6•0=0 und 4•0=0)
Deshalb bleibt als Grenzwert im Zähler nur noch die 1 und im Nenner die 2 übrig, also 1/2 :-)

Noch eine Anmerkung zur 3. Zeile:
Das steht →1/2 für n→∞
Das heißt NICHT, dass der Bruch =1/2 ist!
Das heißt, das der Grenzwert =1/2 ist für n→∞

Antwort
von switchii, 31

Wie du siehst, wird für n = unendlich eingesetzt. 

Setzt man also bei n jeweils unendlich ein, dann werden die Brüche immer kleiner und kleiner, bis die Zahl soviele Nullstellen hat, dass man den Bruch als 0 runden kann. 

Ersetzt du nun beide Brüche durch 0, sollte es nachvollziehbar sein. 

Antwort
von Zorrozy, 26

Ich habe ne kleine vermutung, kannst du mir kurz dein Thema nennen, dann kann ich mich vergewissern, mir fällt das Thema selber gerade nicht ein, aber beim lesen weiß ich glaub ich wieder

Kommentar von automatisch11 ,

Konvergenz (Folgen)

Kommentar von Zorrozy ,

Ok dann kann ich dir doch nicht weiterhelfen, denn wenn ich mir das anschaue kommt da (5/n) / (6/n)

Kommentar von Rubezahl2000 ,

@ Zorrozy: Ja, lass es besser ;-)
(5/n) / (6/n) kommt da niemals raus, auch nicht bei einfacher Umformung!

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