Frage von EpsilonXr, 12

Wer kann mir bei dieser inneren Ableitung helfen?

( x + 2 )^-2 = -2 ( x + 2 )^-3 + 1 oder = 2 ( x + 2)^-3 * 1

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 6

Definieren wir eine Funktion:

f(x) = (x + 2)⁻²

Zuerst die Kettenregel:

f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)

Nun identifizieren wir unsere beiden Funktionen:

g(x) = x⁻² → g'(x) = -2x⁻³
h(x) = x + 2 → h'(x) = 1

Also:

f'(x) = -2(x + 2)⁻³ * 1 = -2(x + 2)⁻³

Bei dieser Funktion ist aber die Reziprokenregel eher angebracht. :)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Wechselfreund ,

Ich fände es günstiger, statt g(x) g(h) zu schreiben.

So könnte man als Ableitung auf g'(x)·h = -2x^-3 · 1kommen.

Kommentar von Willibergi ,

Ich verstehe nicht, was das bringen soll.

Die Funktion g(x) heißt g(x), weil sie von x abhängig ist.

-2x⁻³ würde als Gesamtableitung auch sowieso nicht stimmen?!

LG Willibergi

Antwort
von TheAceOfSpades, 3

Sei U(x) die innere Funktion und V(u(x)) die äußere.

Dann gilt d(V⋅U)'(x) / dx = (V⋅U)'(x) = U'(x) * V'(U(x)).

In deinem Beispiel ist U(x) = (x+2) und V(x) = 1/x².

U'(x) = 1 und V'(x) = -2x⁻³

Die Ableitung der verknüpften Funktion ist (V⋅U)'(x) = U'(x) * V'(U(x))
= 1 * -2(U(x))⁻³ = -2(x+2)⁻³

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