wer ist dafür zuständig?

zuständig ist erstmal der Vermieter, wenn allerdie Verstopfung durch den Mieter verursacht wurde, hat dieser dann die Kosten zu tragen..
Bis zur Wand Du - hinter der Wand der Vermieter.
Dieser Grundsatz gilt für die Verlegung von Rohren oder Leitungen, aber nicht für deren Benutzung.

Wenn du es verursacht hast, dann du. Sind die Rohre schons sehr alt. Der Vermieter.
Alte Rohre führen nicht zu einer Verstopfung.
Falsch "maganz".
Schau Dir bitte mal ein 40-50 Jahre altes Abflussrohr in einem Haus an. Die sind innen meist angefressen (meist Gußrohre), dass sich an den aufgerauten Flächen, z.B. in den Küchenrohren, ganz normale Öl- und Fettrückstände festsetzen und die Rohre "dicht" machen ! Und dieses Öl- und Fett kommt vom ganz normalen Geschirr spülen.
Dir wäre schlecht geworden, wenn Du vor 2 Tagen im TV die Doku über die Qualität von deutschem Trinkwasser gesehen hättest, bzw. was die Hausrohre daraus machen !!!!

Zunächst kann der Mieter ja wohl versuchen mit einfachen Mitteln die Verstopfung zu beseitigen, z. B. mit einer Saugglocke oder einem Mittel wie Abflussrein etc.
Zunächst müssen die Kanalräumer klären, ob ein Rohrschaden vorliegt oder eine echte Verstopfung. Erstere fällt unter die Erhaltungspflichten des Vermieters bei der Infrastruktur, letztere ist ein Benutzungsproblem, das die Mieter trifft. In einer Wohnhausanlage, wo sich nicht feststellen lässt, wer die Verstopfung verursacht hat, muss man aber allenfalls mit einer gleichmäßigen Aufteilung der Kosten auf alle Mieter rechnen.
Es kommt darauf an, ob erkennbar ist, von welchem Mieter die Verstopfung verursacht wurde.
Eigentlich kann man erst hinterher feststellen, was die Verstopfung verursacht hat. Ist es allerdings ein Materialschaden oder hat die Verstopfung bautechnische Ursachen, zahlt der Vermieter allein.
In jedem Fall sollte der Vermieter die Beseitigung veranlassen. Über die Kosten muss man dann reden.
Wer die Verstopfung zu verantworten hat, ist auch für die Beseitigung zuständig.
Die Verantwortung ist höchstens bei einem Einfamilienhaus so einfach zu klären.

Das hängt von der Art der Verstopfung ab. Meist sind sie durch die Mieter verursacht.