Getrenntlebend,gemeinsames Sorgerecht

Selbst wenn sie nicht "muss", sollte es selbstverständlich sein. Sie kann ihr Sorgerecht in dem Moment nicht wahrnehmen, also muss sie Dich informieren.

Mit Blick auf die Kinder schon. Aber das ist auch das einzige Argument, welches dafür spricht.
Das Wohl der Kinder sollte auch dann im Vordergrund stehen, und Du hast ein Recht, sogar die Pflicht, für dieses Wohl zu sorgen, wenn Deine Noch-Frau dazu nicht in der Lage ist.
Theoretisch nicht, aber wenn sie an das gemeinsame Kind denkt (jemand muss es ja für diese Zeit betreuen), dann könnte es vielleicht nicht schaden. Die Gegenfrage ist die, wie das gemeinsame Sorgerecht definiert ist und gelebt wird. Wenn sie mehr oder weniger Alleinerziehend ist und du nur dein Sorgerecht in Form von WE-Besuchen warnimmst, die Betreuung ansonsten aber eh durch dritte erfolgt, dann hast du keinen Anspruch auf eine Information. Solange eine Scheidung aber noch nicht rechtskräftig ist, hast du ein Auskunftsrecht im Krankenhaus (vorausgesetzt du weißt, dass sie drin ist), aber das ist eine andere Frage.