Frage von Ps4best, 75

Wenn f`` immer positiv, dann geht f gegen unendlich?

Gibt es einen Mathematischer Beweis bzw. einen Gegenbeweis (Gegenbeispiel reicht) dafür, dass wenn die 2. Ableitung f``(x) immer positiv ist (verschieden 0), die Funktion f(x) selbst gegen unendlich geht?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 15

Für allgemeine Funktionen hat  lks72 diese Frage schon hinreichend beantwortet.

Für Polynome stimmt dies allerdings. Hier muss 1. der Grad mindestens 2 sein (sonst wäre f'' überall = 0) und 2. der höchste Koeffizient positiv sein, weil sonst für genügend hohe Werte der Variablen f, f' und f'' (und ggf. weitere Ableitungen) negativ würden.

Außerdem stimmt die Aussage mit einer Zusatzbedingung: Es gibt ein x0 mit f'(x0) >= 0. Dann gibt es ein x1 > x0 mit f'(x1) > 0 (lineare Näherung von f'), und damit ist f(x1) + f'(x1) * (x-x1) für x >= x1 eine Minorante von f(x).

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 21

Ein grundsätzlich positive Zahl a, und sei diese auch reell, kann nur die 2. Ableitung einer quadratischen Funktion sein, bei der sie aus dem Koeffizienten hervorginge. Dieser muss dann auch positiv sein, sonst wäre die 2. Ableitung negativ. x² geht sowieso in beiden Zweigen gegen unendlich.

Andere Funktionen hätten mindestens ein x in der 2. Ableitung, sind hier also nicht von Interesse. Sie sind nicht immer positiv.

Also wüsste ich nicht, was gegen deine Erkenntnis spräche,
außer dass sie in einer Kurvendiskussion kaum (oder nicht) relevant wäre.

Antwort
von Roach5, 9

Um das Beispiel mit Iks72 mit einzuberechnen, hier die zwei Fälle:

Fall 1: f'' ist immer positiv, aber darf beliebig klein werden: Hier ist 1/x ein Gegenbeispiel, wie bereits erwähnt.

Fall 2: f'' ist immer positiv und besitzt eine positive untere Schranke, also existiert ein epsilon (nennen wir mal e), sodass f''(x) > e > 0 für alle x.

In diesem Fall stimmt deine Aussage, Beweis:

Wenn f''(x) > e, dann sei nun x > 0 fixiert und man bekommt durch Integralrechnung, dass f'(x) = f'(0) + Integral von 0 bis x von f''(t)dt > f'(0) + x * e.

Durch Integralrechnung bekommt man jetzt, dass f(x) = f(0) + Integral von 0 bis x von f'(t)dt > f(0) + Integral von 0 bis x von (f'(0) + t * epsilon)dt > f(0) + f'(0) * x + e/2 * x².

Wir bekommen also jetzt immer die Ungleichung f(x) > f(0) + f'(0) * x + e/2 * x². Durch einfache Grenzwertbetrachtung sehen wir, dass die untere Abschätzung gegen unendlich geht, da e/2 * x² nach unendlich geht und die Konstante sowie den linearen Term für groß genügende x dominiert. Also muss auch f(x) gegen unendlich gehen.

Deine Aussage lässt sich verallgemeinern: Ist eine beliebige n-te Ableitung von f ab einem x0 immer positiv und besitzt eine untere Schranke, so geht f gegen unendlich.

Die Ungleichung, die du dann bekommst, ist für x > x0: f(x) > f(x0) + f'(x0) * (x-x0) + f''(x0)/2 (x-x0)² + ... + f^(n-1)(x0)/(n-1!) (x-x0)^(n-1) + e/(n!) * (x-x0)^n, wobei f^(n-1)(x0) die n-1-te Ableitung in x0 darstellen soll. Nach dem selben Prinzip dominiert e/(n!) * (x-x0)^n alle anderen Potenzen, wenn x groß genug ist.

LG

Antwort
von Roderic, 16

Kommt auf die Intervallgrenzen des Wertebereichs an und für welche x f(x) gegen unendlich gehen soll. - sprich welcher Grenzwert.

Du musst wirklich lernen, mathematische Problemstellungen exakt zu formulieren.

  • Falls x ∈ R, ohne weitere Einschränkung, dann trifft deine Vermutung zu. (Ein Beweis läßt sich mit einer linearen Funktion als Minorante führen.)
  • Fals nicht, dann nicht. (siehe Gegenbeispiel von iks72)


Antwort
von lks72, 41

Die Aussage ist nicht richtig, betrachte die Funktion f(x) = 1/x auf [1,oo[

Im offenen Intervall ]1,oo[ ist die Funktion zweimal differenzierbar mit

f'(x) = -1/x^2 und f''(x) = 2/x^3, und diese Funktion ist in [1,oo[ stets positiv, allerdings ist f im gleichen Intervall beschränkt.

Kommentar von Ps4best ,

2/x^3 geht doch gegen 0 für x gegen unendlich oder? ich meine wenn die Funktion immer positiv ist und nicht gegen 0 geht

Kommentar von lks72 ,

Ja, aber f'' > 0 gilt immer wie vorausgesetzt, trotzdem ist f beschränkt, das ist genau das Gegenbeispiel zu deiner Aussage

Kommentar von eddiefox ,

Hallo,

Mal ein bisschen an den Bedingunge feilen.

Du (Ps4best) willst die Bedingungen 

f" stetig (z.B. auf I = [0;+∞[ ), f"(x) > a > 0 auf I (also nach unten beschränkt mit einer positiven unteren Schranke. 

Das verhindert lim f"(x)=0 (x->∞). Im vorigen Beispiel ist f"(x) zwar >0 auf [1;+∞[ , aber die untere Schranke von f" ist 0 ).

Kann man daraus folgern: lim f(x) = +∞ (x -> +∞) ?

Mein Eindruck ist ja (modulo Gegenargument das mir noch nicht eingefallen ist, ich muss jetzt ins Bett...).

Gute Nacht!

Antwort
von timhel, 33

Fangfrage? Bei einer negativen 2. Ableitung, also f'', geht f ebenfalls gegen unendlich. Die 2. Ableitung zeigt lediglich das Krümmungsverhalten an. 

Edit: Ich denke die Frage ist falsch formuliert bzw. nicht vollständig. Wenn du sagst, dass die Funktion f gegen unendlich geht, dann meinst du wahrscheinlich die y-Achse stimmts? Dann ist die Sache ganz klar: Eine positive 2. Ableitung bedeutet linksgekrümmt. Wenn eine Funktion linksgekrümmt ist, dann muss sie vorher ins negative verlaufen und vorher rechtsgekrümmt sein. 

Kommentar von Ps4best ,

ja ich meine in y-richtung gegen unendlich, aber ich stimme dir zu dass ich nicht genau genug die Frage gestellt habe ich meine f(x) soll gegen unendlich gehen

Kommentar von timhel ,

Eben, du hast dir gerade dein Gegenbeispiel selber erläutert. :)

Jetzt formulier das so um, dass f'' positiv ist, also linksgekrümmt.

Schönen Abend und viel Spaß in Mathe morgen!


Edit: Deine Antwort war zu 100% richtig, hättest du ruhig stehen lassen können.

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