Wenn das Gravitationsfeld auf dem Boden der Erde stärker ist, müsste doch eine Uhr (die auf dem Boden "steht") schneller gehen, oder doch nicht?

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5 Antworten

Hallo sgn18blk,

der Reihe nach, ja?

Warum ist das Gravitationsfeld der Erde unten überhaupt am stärksten und
nicht genau so stark wie paar Hunderte Meter weiter oben?

Die Schwerkraft nimmt mit dem Quadrat des Abstands der einander anziehenden Massen ab. Das wusste sogar schon Newton.

F_Schwerkraft ~ G * m1 *m2 /r²

(wobei G die Gravitationskonstante ist und m1 und m2 die beteiligten Massen - m1 z.B. die Erdmasse)

Die Schwerkraft wird also größer, je größer die Masse ist, die einen anzieht und je kleiner der Abstand von ihr ist.

Das Gravitationsfeld ist ja nichts anderes als eine Angabe, wie groß die Schwerkraft auf einen Körper an jedem Raumpunkt ist. Entsprechend hat das Gravitationsfeld einen größeren Wert, wenn Du direkt auf der Erde stehst als in größeren Höhen.

Angenommen man befestigt auf einem 1000 Meter hohen Turm ganz oben eine Uhr und einmal ganz unten eine. Welche geht langsamer?

Die untere Uhr auf dem Erdboden, weil sie tiefer im Schwerefeld - und damit bei größeren Werten der Schwerkraft - aufgestellt ist. Letztendlich ergeben sich die Formeln für diese sogenannte "gravitative Zeitdilatation" aus dem sogenannten Äquivalenzprinzip. (http://www.einstein-online.info/vertiefung/Aequivalenzprinzip)

Einstein erkannte, dass der Aufenthalt in einem Schwerefeld gleichbedeutend ist zum Aufenthalt in einem beschleunigtem Bezugssystem. Aus der Speziellen Relativitätstheorie ergibt sich, dass schnell bewegte Uhren langsamer laufen - in der Allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich die Erweiterung, dass auch stark beschleunigte Uhren langsamer laufen. Auf eine Uhr auf der Erdoberfläche wirkt eine stärkere Schwerkraft, was nach dem Äquivalenzprinzip einer stärkeren Beschleunigung entspricht - und das wiederum der langsamer laufenden Uhr im Vergleich zu einer Uhr in1000 m Höhe.

Letztlich altert also Dein Kopf, der ja typischerweise rund 2 Meter weniger tief im Schwerefeld der Erde ist, im Laufe Deines Lebens Sekundenbruchteile langsamer als Deine Füße. Der Effekt ist aber so klein, dass es sich nicht lohnt, zum Zwecke der Faltenvermeidung ein Leben lang auf Händen zu laufen..

Und um die ganze Sache jetzt noch komplizierter zu machen:

Ich habe oben geschrieben, dass bewegte Uhren langsamer gehen. Wenn Du oben auf Deinen Turm eine Uhr setzt, dann muss die (weil der Turm ja starr ist) im Laufe eines Tages einen größeren Kreisbogen - also eine größere Entfernung - zurücklegen als die Uhr am Boden. Ein Kreis mit einem größeren Radius hat ja einen größeren Umfang.

So. Das bedeutet aber: Je höher der Turm ist, desto schneller ist die Turm-Uhr im Vergleich zur Boden-Uhr unterwegs. Diese schnellere Bewegung lässt die Effekte der Speziellen Relativitätstheorie zuschlagen: Je höher der Turm, desto langsamer geht die Turmuhr aufgrund ihrer im Vergleich zur Bodenuhr höheren Geschwindigkeit.

Bei "kleinen Türmen" - Dir z.B. mit Deinen rund zwei Metern oder Deinem Beispielturm mit 1000 Metern - überwiegen die Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie und die Bodenuhr geht langsamer, weil sie tiefer im Schwerefeld ist.

Je höher der Turm wird, umso geringer wird dieser Unterschied, bis er etwa auf einer Höhe des halben Erdradiuses von dem Geschwindigkeitseffekt eingeholt wird. In noch größeren Höhen geht dann die obere Uhr langsamer, weil  sie so viel schneller sein muss als die Bodenuhr.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation#/media/File:ZEITDILA_Gravitation_Kreisbahngeschwindigkeit.PNG

Grüße

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Die Abweichungen sind klein, aber messbar, und zusammen mit den Zeitdilatationseffekten der speziellen RT hat man eine Abweichung , die man bei Satelliten beachten muss, damit zum Beispiel die Navigation über GPS richtig funktioniert.
P.s. Es geht übrigens nicht um die Stärke des GF, sondern um das Potential, also wo man sich im GF befindet. Der Effekt würde auch in einem absolut homogenen GF auftreten.

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Die Zeitdilatation (in diesem Fall ist dieses Wort eher als im Zusammenhang mit Geschwindigkeiten) lässt sich über die Frequenz motivieren.

Die Photonenenergie von Licht mit der Frequenz f ist bekanntlich hf. Nun ist jede Form von Energie träge und schwer, d.h., sie hat eine potentielle Energie Φhf/c², wobei Φ das Gravitationspotential ist.

Aufgrund des Energieerhaltungssatzes muss (in Newton'scher Näherung)

hf(1 + Φ/c²) = hf(1 + GM/rc²) = const.

sein. In der Nähe von r=R (Erdradius) mit der Höhe Δr über der Erdoberfläche ist

hf(1 + GMΔr/Rc²) = hf(1 + gΔr/c²) =E= const.,

sodass die Frequenz als

f = E/{h(1 + gΔr/c²)} ≈ f0(1 – gΔr/c²)

mit f0 = E/h ist.

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Das ist tatsächlich so. Die Differenz ist aber minimal.

Es gibt entsprechende Messungen mit Atomuhren auf Höhe Null und gleichzeitig auf der Zugspitze. Es gab Abweichungen.

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Kommentar von sgn18blk
30.05.2016, 18:49

Alles klar, danke. Und warum ist das Gravitationsfeld auf dem Boden der Erde stärker?

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Kommentar von sgn18blk
30.05.2016, 18:57

Ach ja genau, so simpel. Warum kam ich nicht selbst drauf.. Vielen Dank nochmal für Deine Bemühungen und Antworten ;-)

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Nach der Relativitätstheorie hast du Recht. Allerdings ist dieser Effekt so gering, dass man nicht wirklich messen kann...Die Ungenauigkeit deiner Uhren wäre wohl größer als der Effekt, den du messen willst ;)

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Kommentar von sgn18blk
30.05.2016, 18:53

Vielen Dank, also hab ich mich doch nicht geirrt. Das ist manchmal so kompliziert ;-) Weißt Du denn auch warum das Gravitationsfeld auf dem Boden der Erde stärker ist?

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Kommentar von sgn18blk
30.05.2016, 18:58

Ja, hab es verstanden. Danke Dir nochmal :-)

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