Syntetische Fasern würde ich persönlich ausschließen. Aber was ist mit Baumwolle, Leinen oder Seide. Was ist für die empfindliche Babyhaut am Besten?

Du hast die Frage m.E. (fast) selbst beantwortet. Die oben von Dir genannten drei Materialien hätte ich an dieser Stelle auch benannt.
Die drei, die du schon genannt hast. Aber Leinen ist wohl eher etwas unpraktisch (knittert). Am praktischsten wohl Baumwolle, da kochbar und auch mal mit Fleckenmittel behandelbar. Seide ist sehr schön!! Doch wohl zu teuer und unpraktisch beim Waschen.
Baumwolle ist nicht nur am praktischsten, sondern sicher auch am angenehmsten/ weichsten für die Babyhaut, und wenn du Babykleidung aus biologisch angebauter Baumwolle nimmst (am besten auch noch ungefärbt, was aber halt ein wenig langweilig ist ;-), bist du auf der sicheren Seite.
Leinen fühlt sich recht hart an und Seide kühlt sehr stark, wobei auch Schweiß auch drin hängen bleibt... aber vielleicht gibt es auch schon Hersteller, die diese beiden Materialien babygerecht verarbeiten? Wenn, dann sind diese Produkte sicher im Netz zu finden.
LG, Penibly.