Frage von DepravedGirl, 110

Welches ist die schönste Begründung?

Ich suche eine mathematisch möglichst schöne / ästhetische Begründung für das nachfolgende -->

n * a ^ x = a ^ (x - ln(1 / n) / ln (a))

Damit kann man das n vor dem a mit in die Potenz rein ziehen, wenn man will, was manchmal recht nützlich ist.

Ich weiß schon seit langem, dass es so ist, und habe das immer akzeptiert, dass es so ist, aber eine Begründung fällt mir dazu nicht ein.

Ich kenne auch folgenden Zusammenhang -->

a ^ x = b ^ (x * ln(a) / ln(b))

ich hatte zuerst gedacht ich würde von diesem Zusammenhang auf den ersten Zusammenhang kommen, aber gedanklich verknüpfe ich das leider nicht.

Auch dass a = e sein kann (Eulersche Zahl), weiß ich, hat mir aber nicht wirklich was gebracht.

Kennt ihr eine gute mathematische Begründung für -->

n * a ^ x = a ^ (x - ln(1 / n) / ln (a))

?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

aus ln(1/n) / ln a machen wir (ln1 - ln n) / ln a = - ln n / ln a

somit rechts

a^(x +  ln n / ln a) = a^x  • a^(ln n / ln a)

mit a^(ln n / ln a) = n

ergibt sich a^x • n

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort, das ist die wahrscheinlich perfekteste Herleitung die man haben kann ;-))

Antwort
von ralphdieter, 9

Erstmal aufräumen (mit "-ln 1/n = ln n", dann "ln n/ln a = logₐ n"):

    n·a^x = a^(x + logₐ n)

Der Rest ist Potenzrechnen, 6. Klasse.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Antwort
von fjf100, 21

Exponentialfunktion From y=f(x)= a^x mit a>0 und a ungleich 1

als e-Funktion y= e^x

y1=f1(x)= a^x und y2=f2(x)= b^c beide Funktionen haben den selben Kurvenverlauf ! Also gleichsetzen

y1=y2 ergibt  a^x= b^c logarithmiert ergibt x*Ln (a) = c *Ln(b)

also ist c= x * Ln(a) /Ln(b)

ergibt a^x= b^(Ln(a)/Ln(b) *x

Das Selbe mit y1=n * a^x und y2= a^c gleichgesetzt  n *a^x= a^c

a^x=1/n *a^c logarithmiert  x * Ln(a)= Ln(1/n) + c *Ln(a) ergibt

c * Ln(a) =Ln(1/n) - x *Ln(a) dividiert durch Ln(a) ergibt

c=Ln(1/n) /Ln(a) - x eingesetzt

n * a^x= a^(Ln(1/n)Ln(a) -x)

Rechenregeln siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Logarithmengesetze"

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Kommentar von fjf100 ,

Wieso ? Hab ich doch nur aus den Mathe-Formelbuch abgeschrieben.Hoffe ich hab mich nicht vertippt.

Das würde ja meinen "Ruf" schaden !!

Kommentar von DepravedGirl ,

Wieso ?

Ist der Ruf erst ruiniert, dann lebts sichs gänzlich ungeniert.

Wenn du den Ruf der Perfektion erst mal los wirst, dann kannst du ruhig auch mal Fehler machen ;-))

Antwort
von poseidon42, 38

n*a^x = a^(x - ln(1/n)/ln(a) ) 

Fangen wir einfach mal rechts an:

a^(x - ln(1/n)/ln(a) ) = a^( x + ln(n)/ln(a) ) 

= a^x * a^(ln(n)/ln(a)) = a^x * a^(log_a(n))

= n*a^x

Hier war vor allem Folgendes wichtig:

ln(1/n) = - ln(n) = ln( n^(-1))

und 

ln(n)/ln(a) = log_a(n)

a^x = e^(ln(a^x)) = e^(ln(a)*x) = n     II wenn gelten soll a^x = n

Damit folgt durch den ln:

e^(ln(a)*x) = n   II ln(x)

ln(a)*x = ln(n)   II *1/ln(a)

x = ln(n)/ln(a) 

Damit wäre schon mal geklärt wie man auf Logarithmen zu anderen Basen umrechnet. Damit lässt sich dann die linke Seite recht schnell zeigen. Die rechte Seite hingegen ist auch nicht wirklich spannender:

n*a^x = a^(log_a(n)) *a^x = a^( x + log_a(n)) = a^(x + ln(n)/ln(a) )

= a^(x - ln(1/n)/ln(a) )




Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine beeindruckende Begründung !

Kommentar von poseidon42 ,

Wirklich ästhetisch ist sie ja nun nicht geworden, aber ich hoffe das bisschen rumgerechne hat geholfen ^^

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, hat es, sehr viel schöner kann es wahrscheinlich auch nicht werden.

Antwort
von pingorc, 49

Ich glaube so könnte es gehen ...
Hoffe man kann das lesen

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank !!

Ich werde mir das mal näher ansehen, auch wenn es zur Zeit leider einen Bug in der Technik von GF gibt, die es verhindert, dass es anständig angezeigt wird.

Kommentar von pingorc ,

Hab ich auch schon gesehen ... Tipp: Rechtsklick -> Bild anzeigen

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, dann ist es nur leider sehr sehr klein.

Ich habe das jetzt mal ins GF - Forum gestellt -->

https://www.gutefrage.net/forum/thread/4903609/bilder-auf-gf-werden-nicht-anstae...

Kommentar von Willy1729 ,

Einfach mit Doppelklick öffnen, dann geht ein neuer Tab mit dem kompletten Bild auf.

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Hinweis Willy !

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