Frage von 1Genius, 54

Welches Integrationsverfahren benötige ich für 1/wurzel(x^2-1)?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 21

In "Netz - Formeln der Mathematik" aus dem Hanser-Verlag findest du Integraltafeln.

z = √(x ^ 2 - a ^ 2) mit a > 0

∫ 1 / z * dx = sgn(x) * arcosh ( |x| / a) + C

|...| = Betragfunktion

sgn (x) = Signumfunktion = Vorzeichenfunktion

mit a = 1 erhält man dann -->

∫ 1 / z * dx = sgn(x) * arcosh ( |x| ) + C

Es ist 1 ^ 2 = 1

Für sgn(x) * arcosh ( |x| / a) + C kann man auch sgn(x) * ln(|x| + √(x ^ 2 - a ^ 2)) + C schreiben, das ist das gleiche.

Kommentar von 1Genius ,

∫ 1 / z * dx

so weit war ich bereits aber die Substitution gelingt mir nicht ganz, wenn ich dx ersetzen will vereinfacht sich die Funktion nicht wirklich

Kommentar von DepravedGirl ,

Herleiten will ich es dir aus Zeitgründen nicht.

Wie ich in meiner Antwort geschrieben habe, habe ich es aus dem oben genannten Buch, in dem Integraltafeln drin sind.

Die Herleitung bringt meiner Meinung nach auch niemandem etwas, es reicht wenn man akzeptiert, dass dies die Stammfunktion ist.

Außerdem ist z genauer z(x) hier gar nicht als Substitution zu verstehen, sondern einfach nur als Kürzel / Abkürzung für die lange Version.

Kommentar von 1Genius ,

ok danke dann weiß ich jetzt zumindest woran ich bin :)

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) !

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 26

Hallo,

hier handelt es sich um ein Grundintegral; die Stammfunktion dazu lautet:

F(x)=ln|x+√(x²-1)| Die Kurzschreibweise hierfür ist Arcosh(x) für x>1
und -Arcosh(-x) für x<-1. Für -1<x<1 ist die Funktion nicht definiert.

Herleiten läßt sich das über Substitution, ist aber nicht ganz einfach.

Am besten mal googlen.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von iokii, 26

Das "Kenne die Stammfunktion"-Verfahren. Das ist nämlich fast die Ableitung vom arcsin.

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