Frage von pmirzad, 61

Welcher Punkt des Rotationsparaboloids z=x2 +y2 ist dem Punkt(1,11/2) am nächsten, diese Aufgabe muss mit lagrange gelöst werden, freue mich auf eine Antwort?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 43

Q = (1,11,2), bzw. Q_x = 1, Q_y = 11, Q_z = 2  (wenn ich das richtig verstanden habe)

ZIelfunktion: D(P) = √( (P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2 + (P_z - Q_z)^2 )

Da die Quadratwurzel streng monoton ist, kann man ebensogut (D(P))^2 als Zielfunktion nehmen.

Wir haben hier nur eine einzige Nebenbedingung, damit besteht der Vektor der Lagrange-Multiplikatoren aus genau einem Element.

Damit haben wir die Funktion Λ zu betrachten mit

Λ(P, λ) = ( (P_x - Q_x)^2 + (P_y - Q_y)^2 + (P_z - Q_z)^2 ) + λ (P_x^2 + P_y^2 - P_z)

Wenn wir einfacher P_x als x usw. schreiben:

Λ(x, y, z, λ) = ( (x - Q_x)^2 + (y - Q_y)^2 + (z - Q_z)^2 ) + λ (x^2 + y^2 - z)

Lagrange-Bedingung: Jede der partiellen Ableitungen von Λ nach x, y, z und λ muss verschwinden.

Daraus x, y, z ausrechnen; dies sind die Koordinaten des gesuchten Punktes.

Kommentar von pmirzad ,

vielen dank für die Antwort die Nebenfunktion ist klar aber wie kommst du genau auf die Hauptfunktion ich habe deinen Ansatz nicht verstanden wie du genau auf die Hauptfunktion kommst

Kommentar von PWolff ,

Euklidischer Abstand zweier Punkte.

Diesen habe ich quadriert, um weniger Arbeit mit den Ableitungen zu haben.

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