Frage von user3826, 47

Welcher dieser Kräfte stehen senkrecht aufeinander (Vektoren)?

Vektor F1=(1;2;0), F2=(-1;1;1), F3=(1;2;-1)
Wie wird das berechnet

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 17

Hallo,

der Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist der Quotient aus dem Produkt der Vektoren und dem Produkt der Beträge, also der Länge der Vektoren.

Einem Winkel von 90° entspricht ein Kosinus von 0. Da ein Bruch Null ergibt, wenn der Zähler Null ist, brauchst Du Dich um die Beträge nicht zu kümmern, sofern sie von Null verschieden sind. Es reicht, zu zeigen, daß das Produkt zweier Vektoren Null ist, um zu wissen, daß sie senkrecht aufeinander stehen - jedenfalls, wenn keiner der Vektoren ein Nullvektor ist, ein Vektor mit der Länge Null also.

 Das Produkt zweier Vektoren ist gleich der Summe der Produkte ihrer Einzelkomponenten. Vektor (a/b/c) mal Vektor (x/y/z) ist gleich ax+by+cz.

Das Produkt aus den Vektoren F2 und F3 ist also (-1*1+1*2+1*-1)=-1+2-1=0.

Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von SlowPhil, 2

Vektoren sind senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. In kartesischen Koordinaten ist es denkbar einfach, das Skalarprodukt zweier Vektoren

x₁ = (x₁₁, x₁₂, x₁₃) und x₂ = (x₂₁, x₂₂, x₂₃)

auszurechnen, es ist nämlich

xx₂ = x₁₁x₂₁ + x₁₂x₂₂ + x₁₃x₂₃.

Es ist

F₁⋅F₂ = -1 + 2 + 0 = 1
F₂⋅F₃ = -1 + 2 – 1 = 0
F₃⋅F₁ =  1 + 4 + 0 = 5.

F₂ und F₃ stehen also senkrecht aufeinander, wie willy1729 schon geschrieben hat. Trigonometrische Überlegungen brauchst Du für diese Aufgabe allerdings nicht.

Das wird interessant, wenn Du tatsächlich mal Winkel zwischen zwei Vektoren ausrechnen willst, die weder senkrecht aufeinander stehen noch parallel sind. Dafür reicht das Skalarprodukt allerdings allein nicht mehr, denn längere Vektoren ergeben natürlich auch ein größeres Skalarprodukt.

Antwort
von appletman, 23

Das 'Innere Produkt' (Skalarprodukt) zweier Vektoren ist null, wenn diese senkrecht aufeinander stehen:

a*b=(ax+ay+ay)*(bx+bx+by)=axbx+ayby+azbz=0

a*b=|a|*|b|*cos(phi)

phi= Winkel zwischen a und b

a,b sind Vektoren

Kommentar von PWolff ,

Wenn man den Nullvektor (der Vektor, bei dem alle Koordinaten 0 sind) ausschließt, gilt auch das Umgekehrte:

Zwei Vektoren, die beide vom Nullvektor verschieden sind und deren Skalarprodukt 0 ist, stehen senkrecht aufeinander. (Dies nutzt man hier.)

-----

Anmerkung:

Den Nullvektor schließt man für die Anschauung aus, weil er keine Ausdehnung hat und damit keine Richtung, deshalb kann man anschaulich nicht sinnvoll sagen, ob der Nullvektor senkrecht, parallel oder was auch immer zu irgendeinem (anderen) Vektor steht.

Um sich diese Fallunterscheidung zu sparen, definieren Mathematiker: Der Nullvektor steht senkrecht auf jedem Vektor. (Einschließlich sich selbst)

Da das Skalarprodukt des Nullvektors mit jedem beliebigen Vektor 0 ist, gilt damit:

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 27

F2 und F3 zB stehen senkrecht....

weil (F2)x(F3) = 0

-1+2-1=0

Kommentar von user3826 ,

Aber wie kommst du darauf? Danke :)

Kommentar von Ellejolka ,

F2 • F3 = (-1,1,1) • (1,2,-1) = -1•1 + 1•2 + 1•-1 = 0

Kommentar von Wechselfreund ,

"x" als Zeichen für Skalarprodukt ist ungünstig, das steht eigentlich für das Kreuzprodukt...

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