Frage von HEYIMTHEBOSS, 43

Welchen zusammenhang haben diese Gleichungen?

Quadratische Funktionen: f(x)=x²+px+q (normalform)  und  y=(x+d)²+e (scheitelpunktform)

Welchen zusammenhang haben diese? (ist eine Hausaufgabe)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

So wie sie da stehen, sind beides Normalparabeln, da vor dem x² bzw. der quadratischen Klammer eine 1 steht. Außerdem kann man mit quadratischer Ergänzung aus der Normalform die Scheitelpunktform ermitteln und aus der Scheitelpunktform durch auflösen der Klammer die Normalform erreichen.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

y = f(x) = a * x ^ 2 + p * x + q = a * (x + d) ^ 2 + e

d und e können aus a, p und q berechnet werden -->

d = p / (2 * a)

e = (4 * a * q - p ^ 2) / (4 * a)


Da bei dir a = 1 ist, vereinfacht es sich noch -->

y = f(x) = x ^ 2 + p * x + q = (x + d) ^ 2 + e


d = p / 2

e = (4 * q - p ^ 2) / 4

Kommentar von Volens ,

Der hier dokumentierte, den meisten höchst unklare Tatbestand dokumentiert, dass man aus den Nullstellen einer Normalparabel ganz leicht den Scheitelpunkt errechnen kann, wenn nur p bekannt ist.
x ist nämlich p/2.
Und y ist durch Einsetzen dieses Wertes in eine beliebige Form der Parabel zu berechnen.

Mit etwas Durchblick bekommt man auch den Scheitelpunkt der allgemeinen quadratischen Parabel heraus, wenn das a (Vorzahl von x²) in einer gegebenen Gleichung zu sehen ist.

Das umständliche quadratische Ergänzen entfällt dann ganz einfach.

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja

Ich weiß zwar wie das quadratische Ergänzen geht, aber ich mag es nicht.

Ich verwende lieber die in meiner Antwort genannten Formeln.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

(x + p/2)² - (p/2)² + q

also d = p/2

und e = -p²/4 + q

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