Welchen kleinsten Wert kann der Term x^2-7x-2 annehmen?

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3 Antworten

Wenn du dir die Funktion gezeichnet vorstellst hast du ja bekanntlich eine nach oben geöffnete Parabel. Der Wert der Parabel ist im Scheitelpunkt am kleinsten. Um den Scheitelpunkt zu bestimmen kannst du die Gleichung von der Normalform in die Scheitelpunktform bringen.

f(x)=x^2-7x-2                              |quadratische Ergänzung

     =x^2-7x+(7/2)^2-(7/2)^2-2     | 2. binomische Formel

     =(x-7/2)^2-(7/2)^2-2

     =(x-3,5)^2-14,25

Dann kannst du ablesen, dass der Scheitelpunkt S bei S(3,5 | -14,25) liegt.

=> Der kleinste Wert den die Funktion annehmen kann ist -14,25

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wie der Lehrer darauf kommt? - ganz einfach: den kleinsten Wert, den ein Ausdruck der Form "irgendwas zum Quadrat" annehmen kann, ist Null, (im Beispiel für x = 3,5), alle anderen Werte sind größer. Und damit ist der kleinste Wert, den obiger Ausdruck annehmen kann, zufällig genau -14,25.

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Kommentar von Elias182
07.11.2015, 12:00

Also wie jz ? Kannst du das nochmal schrittweise erklären ?Sorry bin in Mathe nicht der Hellste

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Kommentar von ben9TK
07.11.2015, 12:11

Ist nicht im Ansatz zufällig, wie nichts in der Mathematik! 

Ist auch nicht schlimm, nicht der Hellste zu sein, dafür kannst du andere Dinge :) hoffe du kannst meine Erklärung verstehen!

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Du hast hier eindeutig eine Verschobene Normalparabel vorliegen. Ich kann dir sagen, dass die Höchste Potenz einer Funktion sein Randverhalten bestimmt, also: "Wie verhält sich f (x) , wenn x ganz groß wird?" Und da die höchste Potenz hier 2 ist, sieht deine Funktion so aus wie eine Parabel. Denn wenn du jetzt für x eine große Zahl einsetzt, nehmen wir 1000, dann ist 1000x1000 riesig groß und -7×1000 hat kaum Einfluss darauf. Also eine Parabel. 

Und das was du da weiterhin siehst, das ist eine sogenannte "quadratische Ergänzung". In deiner Formel steht x^2-7x-2, die binkmische Formel sagt dir ja, dass (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ist, a ist bej dir ja ganz klar ja x, und jetzt musst du dich fragen, mit welchem b du 7x rausbekommst, also 2×b×x, das ist hier b=3,5. Du brauchst aber auch noch den letzten Term -14,25. In deiner binomischen Formel steht ja noch ein +b^2, also 3,5^2 und das ergibt 12,25. Du schreibst nun also in deine Gleichung x^2-7x + diese 12,25, weil du die aber nicht einfach so schreiben darfst musst du sie direkt wieder herausnehmen, indem du -12,25 dahinter schreibst. Also steht nun in deiner Gleichung: x^2 -7x +12,25 -12,25 -2. Hier hat sich jetzt nichts verändert! Aus den ersten 3 Gliedern machst du nun wie oben beschrieben eine Binomische Formel, also steht dann: (x-3,5)^2 -12,25 -2. Die letzten beiden fasst du zusammen zu -14,25. 

Das ist nun eine Funktionsgleichung und du kannst ablesen , wie sie verschoben ist, nämlich um 3,5 in die positive x-Achsen Richtung (nach rechts) und um -14,25 Einheiten in die negative y-Achsen Richtung (nach unten). Da du eine Parabel hast (wie erklärt) ist, kannst du an diesen -14,25 den tiefsten Punkt ablesen. 

Ich hab mir mühe gegeben, hoffe das war alles verständlich! Und viel Glück für deine Arbeit! :)

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