Frage von sunshine3524, 37

Welchen Grad muss die Parabelgleichung haben?

Hallo!

Ich habe eine Frage zu Mathe, da ich Montag eine Arbeit schreibe :-)

Also, wenn man zum Beispiel drei Punkte gegeben hat und eine Parabel finden soll, die durch diese Punkte geht, braucht man ja erst einmal eine Parabelgleichung. Bis jetzt dachte ich immer, man benötigt so viele Variablen wie man Punkte oder Bedingungen gegegebn hat. Allerdings gibt es ja auch unter- und überbestimmte Gleichungssysteme, bei denen das nicht hinkommt. Wie erkenne ich es also wirklich?

Vielen Dank!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 15

MERKE : Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Bei einer "Steckbriefaufgabe" führt das immer zu einen "linearenGleichungssystem" (LGS)

Parabel allgemeine Form y=f(x)= a2*x^2+a1*x+ao

Hier liegen 3 Unbekannte vor und wenn man 3 Punkte hat,dann hat man auch sofort 3 Gleichungen

P1(x1/y1) und P2(x2/y2) und P3(x3/y3)

1. a2 *x1^2 +a1*x1 + 1*ao=y1

2.a2 *x2^2 +a1*x2+1*ao=y2

3. a2*x3^2 +a1*x3+1*ao= y3

Wir haben nun 3 Unbekannte a2,a1 und ao und 3 Gleichungen, also lösbar.

HINWEIS : Bei Steckbriefaufgaben liefern auch die Ableitungen ,f´(x) ,

f´´(x) der Funktion f(x) notwendige Gleichungen.

Bei Steckbriefaufgaben gibt es generell nicht mehr Gleichungen als Unbekannte.

Hat man weniger Gleichungen als Unbekannte,dann ist die Aufgabe nicht lösbar.

Kommentar von sunshine3524 ,

Vielen Dank erstmal! :) Ich habe noch eine Frage zu dem letzten Satz: Woher weiß ich denn dass ich weniger Gleichungen als Unbekannte habe, wenn ich die allgemeine Form mit den Unbekannten nach der Anzahl der Gleichungen aussuche? 😥

Kommentar von fjf100 ,

Gesucht ist die Funktion der Parabel,die durch die Punkte 

P1(x1/y1) und P2(x2/y2) geht

allgemeine Form y=f(x)= a2 *x^2 + a1*x+ao

Hier haben wir 3 Unbekannte a2,a1 u. ao aber nur 2 Punkte,also sind alle 3 Unbekannte nicht berechenbar.

Weitere form der Parabel y=f(x)=a * x^2 + C

hier haben wir nun 2 Unbekannte a und C und mit den 2 Punkten auch 2 Gleichungen

ergibt das LGS

1. a *x1^2 + 1*C=y1

2.a*x2^2 +1*C=y2

LGS mit 2 Unbekannte und 2 Gleichungen !!

HINWEIS : Für 2 punkte braucht man eigentlich nur die Funktion der Geraden y=f(x)= m *x + b

Hier sind die beiden Unbekannten m und b

ergibt das LGS

1. m *x1 + 1*b =y1

2. m *x2 +1*b=y2

Ob nun eine Gerade oder eine Parabel gesucht ist,hängt von der Aufgabenstellung ab. 

FAZIT im Normalfall f(x)=a2 * x^2 +a1 *x +ao haben wir 3 Unbekannte,also müssen sich aus der Aufgabenstellung auch 3 Gleichungen ergaben

1. Schritt:Du zählst die Unbekannten in der gesuchten Funktion

2. Schritt : Du zählst die Gleichungen,die durch die Aufgabenstellung aufgestellt werden können

3. Schritt : Anzahl der Unbekannten und Anzahl der Gleichungen müssen gleich sein ,sonst geht´s nicht !

Kommentar von rumar ,

"Hat man weniger Gleichungen als Unbekannte,dann ist die Aufgabe nicht lösbar."

Das ist hier falsch !

Die Aufgabe ist in einem solchen Fall quasi sogar "viel lösbarer" als im Fall, wo man gleichviele Gleichungen wie Unbekannte hat !  Es gibt dann nämlich nicht nur eine einzige, sondern unendlich viele Lösungen !

Was du meinst: Die Aufgabe ist in einem solchen Fall nicht eindeutig lösbar.

Kommentar von fjf100 ,

Lösbarkeitsregeln LGS

1. Anzahl der Unbekannten gleich  Anzahl der Gleichungen

"eindeutig lösbar"   

2.mehr Variablen als Gleichungen    

"unendlich viele Lösungen" 

kannst´e dir von  tausenden Lösungen eine aussuchen !!   

Frage : "Welche willst du ?!!

3. Widerspruch

eine Gleichung stellt einen Widerspruch dar (Unsinn)

"unlösbar"    

Kommentar von Wechselfreund ,

3x - 4 y = 6

6x - 4 y = 9

Nach 1. Eindeutig lösbar???

Antwort
von Wechselfreund, 5

Überbestimmt: Du hättest mehr Gleichungen als Variablen.

Unterbestimmt: Wenn die Anzahl von Gleichungen und Variablen übereinstimmt müsste beim Lösen mit dem Gaussverfahren eine Nullzeile auftauchen. (Dürft ihr GTR benutzen?)

Man kann auch mit der Determinante arbeiten...

Antwort
von rumar, 19

Guten Abend sunshine (leider bist du schon untergegangen ...)

Es gibt da vorerst zwei Punkte, die zu klären sind:

"Echte" Parabeln sind Kurven vom Grad 2. In einem x-y-Koordinatensystem hat eine solche Parabel immer eine Gleichung der Form A*x^2+B*y^2+C*x*y+D*x+E*y+F=0  (mit bestimmten Einschränkungen für die Koeffizienten, damit wirklich eine Parabel und nicht eine andere Art von Kegelschnittkurve herauskommt).

Vermutlich meinst du aber nur Funktionsgraphen, die man in der Form  y = Polynom(x)  schreiben kann. In dieser Situation ist der Funktionsgraph nur dann eine "echte" Parabel, wenn das Polynom den Grad 2 hat.

Um eine derartige Parabel (mit Symmetrieachse parallel zur y-Achse) eindeutig festzulegen, genügt es, drei ihrer Punkte vorzugeben. Diese 3 Punkte sollen dabei paarweise unterschiedliche x-Koordinaten haben und nicht auf einer Geraden liegen.

Um die Parabelgleichung in diesem Fall zu finden, setzt man die 3 gegebenen Koordinatenpaare in die Gleichung  y = a*x^2+b*x+c  ein und löst dieses GL-System nach a,b,c auf.  Sind mehr als 3 Punkte vorgegeben, kommt man im allgemeinen mit einer solchen "echten" Parabel zweiten Grades nicht durch und muss Terme mit höheren Potenzen von x dazu nehmen. Die entsprechenden Funktionsgraphen sind dann aber keine wirklichen "Parabeln" im eigentlichen Sinn mehr !

Kommentar von sunshine3524 ,

Vielen Dank! Eine Sache verstehe ich aber immernoch nicht: Wie kommen dann unter- bzw. überbestimmte Gleichungssysteme zustande, wenn ich diese Funktion in die ich die Punkte einsetzte nach der Anzahl der Gleichungen aussuche? 😥

Kommentar von rumar ,

Wenn du z.B. eine Polynomfunktion suchst, deren Graph durch 5 vorgegebene Punkte (mit 5 unterschiedlichen x-Werten)  gehen soll, dann brauchst du einen Ansatz mit 5 freien Parametern, also eine Funktion vom Grad 4:  y = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e .

Auf diese Weise entsteht immer ein eindeutig auflösbares Gleichungssystem für die gesuchten Parameter. Falls du noch was anderes meinst, dann melde dich noch einmal.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 18

wenn da Parabel steht, hat die Funktion den Grad 2

y = ax²+bx+c

Kommentar von sunshine3524 ,

Da habe ich mich glaube ich falsch ausgedrückt 😓 Ich meine wenn man beispielsweise die Punkte A(2/3), B(6/7) und C(8/10) gegeben hat, dachte ich bis jetzt man bräuchte f(x)=axhoch3 + bxhoch2 + cx + d. Diese automatische Schlussfolgerung ist aber ja nicht möglich, da es sonst ja keine über- und unterbestimmten Gleichungssysteme mit mehr bzw. weniger Variablen wie Gleichungen geben würde.

Kommentar von Ellejolka ,

ich glaube, da machst du dir unnötig Sorgen, dass in einer Klausur

über- bzw unterbest. Gleichungssysteme drankommen;

bei 3 gegebenen Punkten → ax²...........

bei 4 Punkten → ax³.........................

Kommentar von sunshine3524 ,

Nur leider haben wir Sie im Unterricht behandelt 😟😅

Kommentar von Ellejolka ,

notfalls zur Klärung mal Beispielaufgaben posten.

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