Frage von dreamerdk, 14

Welchen genauen Sinn haben die Borelmengen bzw. Sigma-Algebra in der Stochastik?

also ich weiß, dass es damit zusammenhängt, dass z.B. irrationale Zahlen einem Wahrscheinlichlichkeitsmaß zugeordnet werden können. Aber ich habe den wirklichen Unterschied zu den anderen Funktionen nicht verstanden (für endliche Wahrscheinlichkeitsräume). Kann mir das jemand mit eigenen Worten erklären?

Antwort
von LC2015, 8

Du wirfst einige Sachen durcheinander. Sigma-Algebren sind einerseits ein Hilfskonstrukt, um Maße (und insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße) so zu definieren, dass sie einige gewünschte Eigenschaften haben, die ziemlich intuitiv sind. Andererseits repräsentieren Sigma-Algebren Information.

Wenn du eine Sigma-Algebra F über einer beliebigen Grundmenge hast, so ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß nichts anderes als eine Abbildung P von F auf das Intervall [0,1]. Die Sigma-Algebra F enthält also Teilmengen der Grundmenge, denen du eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kannst. Zu den Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die man haben möchte, zählen z.B.

  1. die Eigenschaft, Gegenereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen
  2. die Eigenschaft, Vereinigungen von Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen zu können (d.h. dem Ereignis "A oder B oder C oder ... tritt ein)
  3. die Eigenschaft, dem Durchschnitt von Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen zu können (A und B und ... treten ein).

Durch die spezielle Struktur von Sigma-Algebren als Definitionsbereich von Wahrscheinlichkeitsmaßen und diesen selbst werden diese Eigenschaften sichergestellt.

Da Sigma-Algebren im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsräumen alle Teilmengen der Grundmenge enthalten, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann, dienen sie auch als Informationsträger. Dies wird dann interessant, wenn man bedingte Erwartungswerte oder stochastische Prozesse betrachtet. Bei letzteren handelt es sich um Familien von Zufallsvariablen, die die Entwicklung von einem System zufälliger Werte über Zeit beschreiben (denk als Paradebeispiel z.B. an Aktienkurse). Dort betrachtet man in der Theorie dann sogenannte Filtrationen, dies sind aufsteigende Familien von Teil-Sigma-Algebren einer Grund-Sigma-Algebra, die den Informationsstand zu jedem Zeitpunkt repräsentieren.

Wenn du jetzt beispielsweise eine Filtration F_t mit t>0 hast und eine Zufallsvariable X nicht messbar bezüglich der Sigma-Algebra F_t für ein festes t ist, dann bedeutet das anschaulich, dass zum Zeitpunkt t der Wert von X nicht bekannt ist, da nicht genügend Informationen vorliegen.

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