Ich habe bisher meinen Nachbarn immer die Wohnungsschlüssel überlassen, doch wie ist rein rechtlich, versicherungstechnisch die Sachlage, wenn mein Nachbar die Tür aus Versehen nicht abschliesst oder etwas teures kaputt macht?
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Dafür gibt es keine Versicherung. Höchstens dein Nachbar hat eine, die Nachbarschafthilfe haftungsrechtlich versichert. Aber das ist eher unwahrscheinlich.
Man kann sich nicht gegen alles auf der Welt absichern. Du musst die Schlüssel einem Nachbarn geben, der vertrauenswürdig ist.

Schwierige Frage, denn Hilfeleistungen sind wie geborgte und geliehene Gegenstände nicht versichert. Vergisst er die Haustüre zuzuschließen und es bedient sich jemand, ist es nicht mal Einbruch bzw. grobe Fahrlässigkeit und eine Versicherung zahlt auch nicht. Du hast dann immer nur die Möglichkeit, berechtigte Ansprüche zivilrechtlich einzuklagen.
Wenn dein Nachbar eine Haftpflichtversicherung besitzt, tritt diese in Kraft, wenn etwas von ihm zerstört werden sollte. Wenn Du so wenig vertrauen zu dem Nachbarn hast, solltest Du vielleicht besser die Familie einspannen, Blumen zu giessen, Tiere zu füttern u.s.w.
Dafür gibt es in der Tat keine Versicherung. Dein Nachbar wird im Schadensfall ebenso behandelt wieDu, da er ja in dem Zeitunkt die Herrscahft über deine wWohnung besitzt. Du kannst ihn deshalb nicht haftbar machen.