Welche Richtung hat der Vektor der aus dem Vektorprodukt hervorgeht?

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8 Antworten

Hallo okarin

deine Frage ist längst nicht so dumm, wie einige hier wohl glauben mögen !

In Tat und Wahrheit ist es so, dass wir eigentlich stets schon ein gewisses "Rechtssystem" als vorgegeben voraussetzen müssen, um definieren können, wie nun die drei Grundvektoren eines beliebigen Rechtssystems relativ zueinander gerichtet sein müssen, beispielsweise drei Vektoren a, b und c mit zwei nicht kollinearen Vektoren a und b im \\IR^3  und  c = a x b .

Meist verwendet man dazu als "Modell" drei in bestimmter Weise ausgestreckte Finger der rechten Hand. So ein Vorgehen ist eigentlich für die Geometrie ziemlich sonderbar. Eine Möglichkeit, rein aus der analytischen Geometrie heraus zu definieren, ob 3 zahlenmäßig vorgegebene Vektoren nun ein Rechtssystem bilden, gibt es nämlich grundsätzlich nicht.

Einen ganz analogen Fall gibt es im Bereich der komplexen Zahlen:

So bleiben z.B. alle wahren Aussagen über komplexe Zahlen wahr, wenn man konsequent die "imaginäre Einheit" i  durch  -i  ersetzt. Auch da geht es eigentlich um eine grundsätzliche Ununterscheidbarkeit von "links" und "rechts" aus der reinen mathematischen Theorie heraus.      

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Die Richtung eines Vektors kann nicht positiv oder negativ sein.
Nur einzelne x-y-z-Komponenten des Vektors können pos. oder neg. sein.
Die "Richtung" des Resultatvektors hängt nur von der Lage der Ausgangsvektoren im Raum ab.
Aus dem Rechtssystem geht somit auch keine vorzeichenbehaftete Richtung bezüglich des Koordinatensystems hervor, wie du dir das vielleicht vorstellst.

Erster Vektor, zweiter Vektor und Vektroprodukt-Vektor bilden immer ein Rechtssystem.
1=Daumen, 2=Zeigefinger, Resultat=Mittelfinger.
Reihenfolge der Vektorspitzen dreht von oben gesehen nach rechts, im Uhrzeigersinn.

Rechtssystem anders veranschaulicht:

  • Lass die drei Vektoren im gleichen Punkt beginnen.
  • Dieser Punkt ist die Spitze einer Pyramide
  • Blicke von dieser Spitze her auf die Pyramide
  • Die Enden dieser drei Vektoren zeigen so auf Punkte, die sich im Uhrzeigersinn anordnen, also nach rechts "drehen".


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Es ist nicht sinnvoll, bei Vektoren ein Vorzeichen zu definieren. Vektoren haben eine Richtung und eine Länge; die Länge ist immer nicht-negativ und die Richtung kann auch einer vorgegebenen Richtung entgegegengesetzt sein, aber keine Richtung ist vor der anderen ausgezeichnet.

(Bei Zahlen ist es so, dass die positive Richtung z. B. dadurch ausgezeichnet ist, dass die Teilmenge der positiven Zahlen "unter dem Produkt abgeschlossen" ist und die der negativen Zahlen nicht, d. h. das Produkt zweier positiver Zahlen ist wieder eine positive Zahl, hat also dasselbe Vorzeichen wie die Faktoren, während das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist, also das andere Vorzeichen hat.)

Bei der 3-Finger-Regel zeigen die Finger einfach in die Richtungen der Vektoren, um Vorzeichen braucht (und sollte) man sich da keine Gedanken machen.

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Kommentar von Ahzmandius
02.07.2016, 15:30



Es ist nicht sinnvoll, bei Vektoren ein Vorzeichen zu definieren.

Ähm doch... Ist sogar essenziell

Wenn ich z.b. sage, dass in 1D Fall die Richtung nach Rechts enlang der X-Achse als positiv zu verstehen ist, dann ist zwangsläufig die Richtung nach links negativ.


Beispiel aus 2D:

r = (1;1)

Das ist also ein Vektor, der vom Ursprung zum Punkt (x=1 | y=1) zeigt

Betrachtet man jezt -r so ergibt sich der Vektor zu r=(-1;-1)

-r ist Also der am Ursprung gespiegelte Vektor r.


usw.




Bei der 3-Finger-Regel zeigen die Finger einfach in die Richtungen der
Vektoren, um Vorzeichen braucht (und sollte) man sich da keine Gedanken
machen.

Das ist auch nicht richtig.

Die 3-Finger-Regel nimmt man gerade weil das Vorzeichen implizit wichtig ist. Ohne diese Regel wüsste man eben nicht ob das kreuzprodukt zweier Vektoren positiv oder negativ definiert ist.

Die Drei-Finger-Regel legt das Vorzeichen nicht fest- das macht man von vornerein, in dem man z.b. "links" und "unten" als negativ und "rechts" und "oben" als positiv festlegt.

Die Drei-Finger-Regel liefert dann sehr wohl ein Vorzeichen.

Ohne dieser oder ähnlicher Zuodrnung ("links" und "unten" als negativ und "rechts" und "oben" als posit) und damit ohne ein Vorzeichen, würde die ganze Rechnung kein Sinn machen, weil der Bezug fehlen würde.



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Nimm deine rechte Hand und schaue dir an in welche Richtung der Daumen zeigt(rechte Hand Regel).

Jetzt nimm deine Linke hand.

Stell die Zeige- und Mittelfinger der linken Hand so hin, dass sie in die gleiche Richtung wie die Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand liegen. Wie steht der Daumen der linken Hand im Verlgeich mit dem Daumen der rechten Hand.



Sie zeigen in genau entgegegesetzte Richtungen.

Die Richtung des Daumens der rechten Hand hat man als Richtung des Vektorprodukts der Beiden Vektoren festgelegt.

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Kommentar von okarin
04.07.2016, 14:46

Also soll eine Hand eine Definition für ein Rechtssystem sein? Das klingt für mich gar nicht mathematisch ich mein sonst ist da doch alles so genau definiert?

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Kommentar von okarin
04.07.2016, 18:14

Hab ich schon ca. 10 mal aber dort wird es ja auch nur mit der rechten Hand beschrieben oder mit dem Spatprodukt was wiederum das Vektorprodukt benötigt welches wiederum als Rechtssystem definiert wird. 😂😂

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Male dir die beiden Vektoren a und b auf Papier. a und b liegen jetzt in der Zeichenebene und sollen denselben Anfangspunkt haben. Drehe nun in Gedanken eine Schraube von a in Richtung b, und zwar in Richtung des kürzeren Winkels. Die Richtung, in die du die Schraube (parallel zur Schraubenlänge) bewegst (also nach oben oder unten) ist nun die Richtung des Ergebnisvektors c = a X b.

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Kommentar von appletman
02.07.2016, 17:33

Als Schraube wird hier die so genannte Rechtsschraube vorausgesetzt, also eine Schraube, die man in Uhrzeigerrichtung reindreht und gegen Uhrzeigerrichtung rausdreht.

Ein Beispiel: 2 Buntstifte seien deine Vektoren. Der rote hat die Uhrzeigerstellung 3 Uhr, zeigt also mit der Spitze nach rechts. Der grüne zeigt in Richtung 12 Uhr, also mit der Spitze nach oben. Der rote sei a, der grüne sei b, a und b seien Vektoren. Das Vektorprodukt a x b ergibt einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht. Man dreht jetzt den roten Stift in Gedanken zum grünen hin, also entgegen dem Uhrzeigersinn, da dies der kleinere Winkel ist. Die Schraube wird nach links gedreht und die Spitze des Ergebnisvektors zeigt jetzt zu dir hin (falls du dich darüber beugst), senkrecht zum Tisch, auf dem die Buntstifte liegen.

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 Also der Raum unterteilt sich immer in zwei Halbräume. 

Schau dir mal die Videos von Simple Maths an. Die erklären das am Anfang gut. Zwar etwas oberflächlich, aber für den Anfang reicht es aus.

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Der Vektor a x b steht senkrecht auf der von a und b aufgespannten Ebene. Je nachdem welches Kreuzprodukt du betrachtest (a x b oder b x a) geht der Vektor entweder in die eine Richtung senkrecht oder in die entgegengesetzte.

LG

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Durch die drei Finger Regel werden drei Richtungen definiert beziehungsweise festgelegt mitsamt ihren Orientierungen. Bezüglich einer bestimmten Richtungen ist die positive Seite in Richtung der Fingerenden, die negative entsprechend andersherum.

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