Wenn man dem gemeinsamen Kind den Namen des Vaters gibt, welche Rechte hat dann die Mutter im Falle einer Trennung? Hat sie die gleichen Rechte wie der Vater oder hat sie keine, weil sie unterschiedliche Namen tragen?

Sie hat alle Rechte, wenn sie das Sorgerecht hat...völlig unabhängig vom Nachnamen.

Namen und Sorgerecht haben nichts, aber auch gar nichts miteinander zu tun.

Der Name hat nichts mit dem Sorgerecht zu tun. Vater und Mutter behalten das gemeinsame Sorgerecht, egal wie das Kind heißt. Umgekehrt verliert der Vater ja auch nicht das Sorgerecht, nur weil die Kinder meist wie die Mütter heißen.

Der Name hat nichts, aber auch rein gar nichts mit dem Sorgerecht zu tun. Im Falle einer Trennung gilt zunächst das gemeinsame Sorgerecht, alles andere müßte mit hieb- und stichfesten Argumenten vor Gericht geklärt werden
Beide Elternteile haben zunächst einmal grundsätzlich die gleichen Rechte, sofern die Vaterschaft anerkannt wurde. Das hat nichts mit dem Nachnamen zu tun.
Die vaterschaft hat aber nichts mit dem sorgerecht zu tun.
Die vaterschaft bedeutet nur eine anerkennung und genau genommen begruendet es rechte des kindes bezueglich des vaters.
Das sorgerecht ... in diesem fall die sorgerechtserklaerung dagegen begruendet das recht und die pflicht der beiden elternteile sich um das kind zu kuemmern. Dies betrifft alle wesentlichen entscheidungen. Natuerlich bleiben die alltaeglichen entscheidungen trotz des gemeinsamen sorgerechtes bei dem elternteil, bei dem das kind lebt.
Das namensrecht hat in dem fall mit beidem gar nichts zu tun, denn es hat ja nur was damit zu tun, wie das kind heisst;-)
Mein Sphn hat auch den Nachnamen seines Vaters,bei einem Arzt mußte ich allerdings beweißen das ich die Mutter bin,da ich einen anderen Namen hatte.Hier ging es um einen Urologen,der eine ambulante op durchführen sollte.