Frage von maxim008, 33

Welche Mathelösung ist richtig?

Hallo,

ich hatte vorhin mit einem Klassenkameraden eine Diskussion über eine Matheaufgabe gehabt, welche richtig sei. Nur hat er mir keinen Rechenweg angegeben, weshalb ich es hier nicht aufschreiben kann. Erstmal die Aufgabe:

"Die Tangente im Wendepunkt und die Normale im Wendepunkt bilden mit der x-Achse ein Dreieck. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt."

f(x) = x³ + 3x² - x + 1

So bin ich vorgegangen:

f(x) = x³ + 3x² - x + 1

f´(x) = 3x² + 6x - 1

f´´(x) = 6x + 6

f´´(x) = 0

6x + 6 = 0 | -6

6x = -6 | /6

x = -1

WP ( -1 | 4 )

f(-1) = 4

f´(-1) = 3 * (-1)^2 + 6 * (-1) - 1 = -4

4 = -4 * -1 + b

4 = 4 + b | -4

0 = b

y = -4x (Wendetangente)

4 = 1/4 * -1 + b

4 = - 1/4 + b | + 1/4

4,25 = b

y = 1/4 (x) + 4,25 (Orthogonale)

-4x = 0 | /-4

x1 = 0

1/4 (x) + 4,25 = 0 | -4,25

1/4 (x) = -4,25 | / 1/4

x2 = - 17

y = -4 * 0 = 0 P1 (0 | 0)

Dann habe ich die Entfernung von P1 (0 | 0) und P2 (-1 | 4) berechnet.

d: = √((-1 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = 4,12 cm

Dann die Formel für die Fläche vom

Dreieck : (17 cm * 4,12 cm) /2 = 35,02 cm^2

Mein Klassenkamerad hat 34 cm^2 heraus. Falls in meiner Rechnung doch irgendwo ein Fehler sein sollte, könntet ihr ihn mir bitte zeigen.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 33

Bis auf die letzten paar Zeilen ist alles korrekt.

Da Tangente und Ortogonale orthogonal sind (das war eine Erkenntnis :-) ), liegt hier der rechte Winkel Deines Dreiecks. Demnach könntest Du die Strecken (-17|0) - P2 und P1P2 als Grundseite und zugehörige Höhe nehmen.

Doch es geht einfacher:
Nimm doch das Stück auf der x-Achse als Grundseite (17 LE lang); dann ist die Entfernung des Wendepunktes von der x-Achse (also sein y-Wert) die zugehörige Höhe. Das ergibt die 34 FE.

Dein Fehler liegt darin, dass die  beiden Strecken, mit denen Du gerechnet hast, nicht senkrecht aufeinander sind.

Kommentar von stekum ,

Da der Fragesteller sich (schändlicherweise) für die ausführliche Antwort nicht bedankt, habe ich das mal stellvertretend getan.

Kommentar von KDWalther ,

DANKE!  :-))

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathematik, 30

f(x) = x³ + 3x² - x + 1

f '(x) = 3x² + 6x - 1

f ''(x) = 6x + 6

f '''(x) = 6 > 0 für alle x.

Wendepunkt berechnen:

Notwendige Bedingung für Wendestellen: f ''(x) = 0,

0 = 6x + 6,

x = -1 ist wendestellenverdächtige Stelle

f '''(-1) = 6 > 0, folglich wechselt die Krümmung des Graphen von f für x=-1 von einer Rechtskurve in eine Linkskurve.

Folglich ist x = -1 eine Wendestelle.

Es ist f(-1) = (-1)³ + 3 * (-1)² - (-1) + 1 =

-1 + 3 + 1 + 1 = 4.

Wendepunkt: W( -1 | 4 )

Tangente in W:

t : y = f '(u) (x-u) + f(u)

mit u = -1, f(u) = f(-1) = 4 und

f '(u) = f '(-1) = 3 * (-1)² + 6 * (-1) - 1 = -4, also

t : y = -4 (x-(-1)) + 4,

t : y = -4(x+1) + 4,

t : y = -4x

Normale in W:

n : y = -1/f '(u) (x-u) + f(u)

n : y = 1/4 (x+1) + 4

n : y = 1/4 x + 17/4

Nullstellen von t und n bestimmen:

0 = 1/4 x + 17/4, also x = -17 und

0 = -4x, also x = 0.

Dann hat die Grundseite des Dreiecks eine Länge von 17 LE.

Die Höhe des Dreiecks ist 4 LE lang.

Dann ergibt sich als Flächeninhalt

A = 1/2 * 17 LE * 4 LE = 34 FE.

Kommentar von everysingleday1 ,

Dein Fehler: Wenn du mit der Formel

A = 1/2 * a * b

rechnen möchtest, dann musst du bedenken, dass

a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sein müssen.

In dieser Aufgabe ist es aber günstiger, mit der Formel

A = 1/2 * g * h

zu rechnen. Dabei ist g die Grundseite und h die Höhe auf der Grundseite des Dreiecks, völlig unabhängig davon, ob das Dreieck rechtwinklig ist oder nicht. Dann ersparst du dir auch die Abstandsberechnung.

Kommentar von stekum ,

Da der Fragesteller sich (schändlicherweise) für die ausführliche Antwort nicht bedankt, habe ich das mal stellvertretend getan.

Kommentar von everysingleday1 ,

Herzlichen Dank dafür. Die soziale Entwicklung hier auf gutefrage.net ist wahrscheinlich für viele von uns nicht ganz nachvollziehbar. Seltsamerweise hat das Sich-Bedanken der Fragesteller stark abgenommen. Für viele scheint solch ein "Danke"-Drücken ein gewisses Maß an Überwindung zu kosten oder möglicherweise als absolut nutzlos zu erscheinen. Ich stelle mir bereits seit einigen Wochen die Frage, ob ich überhaupt noch Antworten schreiben soll, wenn dafür noch nicht mal ein "Danke" im Gegenzug geäußert wird. Man darf nicht vergessen, dass wir hier kostenlos qualitativ hochwertige Antworten liefern. Ich mache das für gewöhnlich nur gegen Geld. Und erstaunlicherweise bekomme ich oft ein persönliches "Danke" gesagt von denen, die mich dafür bezahlen. Also von daher ist das schon ein bischen paradox.

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