Frage von sweetmelonxx3, 52

Welche Funktionen haben eine Umkehrfunktion?

Hi. Es heißt ja, eine Funktion darf nur einen y Wert pro x Wert haben. Und ich glaube sie darf nur entweder streng monoton steigen oder fallen, aber nicht beides. Also bedeutet das dann, dass Parabeln und Funktionen dritten und vierten Grades keine Umkehrfunktio haben? Haben nur lineare Funktionen, e Funktionen und Log. Funktionen eine Umkehrfunktion?
LG und danke.

Antwort
von Peter42, 26

der Ansatz über "darf pro y-Wert nur einen x-Wert haben" ist richtig, die Folgerung nach "streng monoton steigend oder fallend - aber nicht beides" ist ebenso korrekt. Und damit hat z.B. eine Funktion 3. 5. oder sonstwie ungeraden Grades sehr wohl eine Umkehrfunktion - aber nicht immer. y = x^3 oder y = x^5 usw. besitzen sehr wohl Umkehrfunktionen.

Kommentar von sweetmelonxx3 ,

hmm ok, danke. Gibt es eine einfache Möglichkeit oder Regel, das zu erkennen oder muss man es situationsabhängig untersuchen?

Kommentar von Peter42 ,

im Zweifelsfall muss man das situationsabhängig betrachten (was aber häufig gar nicht soooo schwer ist - und sollte das tatsächlich doch mal "zu unübersichtlich" sein, dann bildet man die Ableitung und guckt, ob die nur positiv oder nur negativ auf dem infrage kommenden Intervall ist - das wäre dann der Ansatz über die Monotonie (steigend oder fallend - aber nicht beides). In manchen Fällen ist die Ableitung leichter zu beurteilen als die Ursprungsfunktion). Oder man versucht eben, die Umkehrfunktion analytisch zu bilden: wenn das Probleme macht, ist das häufig ein Hinweis darauf, dass es "nicht geht" - z.B. bei y = x^2 führt das Auflösen nach " x " flott auf die Wurzel mit dem " +/- " davor... - es geht aber nur " + " oder " - " und damit steht man schon vor der Erkenntnis, dass "die eine einzige" Umkehrfunktion so generell nicht existiert sondern allenfalls stückweise angebbar ist.

Antwort
von kreisfoermig, 10

Allgemein lässt sich nur sagen:

Defn. Eine Fkt, ƒ : X –→ Y, HEIßT dann „bijektiv“
(nicht IST sondern wird bloß so genannt),
wenn für alle y∈Y exakt 1 x∈X existiert mit ƒ(x)=y.

Deine Frage zielt auf eine synthetische Klassifikation von Bijektivität ab. Deine Klassifikation ist aber fehlerhaft, denn nicht alle Funktionen sind stetig oder auf schönen Bereichen definiert. Allerdings, wenn wir die Rahmen beschränken erhält man bspw.

Satz. Seien X ⊆ ℝ zusammenhängend und
ƒ : X —→ Y=Bild(ƒ)⊆ℝ stetig.
Dann ist ƒ dann bijektiv (zw. X und Y:=Bild(ƒ))
gdw. ƒ ist injektiv,
gdw. ƒ streng monoton steigend
oder ƒ streng monoton fallend.

Beweis. (Hinreichend.) Offensichtlich: ƒ ist schon surjektiv und Injektivität ergibt sich direkt aus strenger Monotonie.

(Notwendigkeit.) ƒ sei bijektiv, insbesondere injektiv. Dann gilt insbesondere für alle x<y in X, dass ƒ(x)≠ƒ(y) und somit ƒ(x)<ƒ(y) oder ƒ(x)>ƒ(y). Angenommen nun, ƒ sei weder überall streng monoton steigend noch überall streng monoton fallend.

Dann nach viel (aufwändiger) AnaIysis lassen sich 3 Punkt x<y<z in X finden, mit ƒ(x)<ƒ(y)>ƒ(z) bzw. ƒ(x)>ƒ(y)<ƒ(z). Man setze m:=Max{½(f(x)+ƒ(y)); ½(f(z)+ƒ(y))} bzw. m:=Min{½(f(x)+ƒ(y)); ½(f(z)+ƒ(y))}, sodass m streng zwischen ƒ(x) und ƒ(y) und streng zwischen ƒ(y) und ƒ(z) liegt.

Mithilfe des ZWS erhält man die Existenz von Punkten c∈(x, y) und c´∈(y, z) mit ƒ(c)=m und ƒ(c´)=m. Also c<c´ und ƒ(c)=ƒ(c´). Dies widerspricht der Annahme, dass ƒ injektiv sei. Also muss ƒ streng monoton sein.
                                                                                             QED.

Achte drauf, dass man damit rechnen soll, dass unter verschiedenen Rahmen eine andere Klassifikation vorliegt. Sprich, täusche dich nicht, indem du glaubst, allgemein „Bijektiv gdw. streng monoton“!

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 36

Richtiger Denkansatz.

Und trotzdem kann eine quadratische Funktion eine Umkehrfunktion besitzen - wenn man ihren Def.-Bereich so einschränkt, dass der verbleibende Teil nur wachsend oder fallend ist. Also ist z.B. f(x) = x² mit x ≥ 0 umkehrbar.

Antwort
von jf20011, 11

Das ist so nicht ganz richtig. Nehmen wir an, jede Funktion f(x) hat eine Umkehrfunktion f'(x).

Die Umkehrfunktion einer Funktion erhält man, wenn man nach x umstellt und x und y vertauscht.

Bsp.:
f(x) = 2x + 1 |-1
f(x) - 1 = 2x |:2
0,5(f(x)-1) = x
f'(x) = 0,5(x-1) = 0,5x -0,5

f(x) = 3x^2 -2 |+2
f(x) + 2 = 3x^2 |:3
(1/3)f(x) = x^2
+ bzw. -Wurzel((1/3)f(x)) = x
f1'(x) = Wurzel((x+2)/3)
f2'(x) = -Wurzel((x+2)/3)

Damit ergeben sich zwei Umkehrfunktionen für eine Parabel.

f(x) = sin(x)
asin(f(x)) = x
f'(x) = asin(x)

Hiermit ergibt sich auch eine Umkehrfunktion für die Sinusfunktion, jedoch ist sie eigentlich keine Funktion, weil einer Abszisse mehrere Ordinaten zugeordnet werden.

Nur Hyperbeln ungeraden Grades haben tatsächlich keine Umkehrfunktion - bzw. sie sind die Umkehrfunktion von sich selbst.

Ansonsten haben wahrscheinlich nur Exoten wie f(x) = x^x überhaupt keine berechenbare Umkehrfunktionen.

Antwort
von Wechselfreund, 14

Da bei einer Funktion im Graphen keine zwei Punkte übereinaderliegen dürfen, dürfen bei einer umkehrbaren Funktion keine zwei Punkte nebeneinander (auf gleicher Höhe) liegen.

Antwort
von Roderic, 19

Lies nach bei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Bijektive\_Funktion

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t

https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t

Daß eine bijektive Funktion in dem betrachteten Intervall streng monoton sein muss, folgt zwangsläufig aus diesen Eigenschaften.

Antwort
von LisaEinstein, 22

Also mein Mathe ist jetzt schon einige Zeit her. Dunkel erinere ich mich in diesem Zusammenhang an Begriffe wie : "surjektiv" und "injektiv"

Googel einfach mal nach "surkektive Abbildungen" vielleicht hilft es dir weiter.

Antwort
von LisaEinstein, 12

Vielleicht mal Themenbereich "Mathematik" wählen. Da sitzen sicher die Experten für so eine Fragestellung.

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