Frage von StudentHN, 33

Welche Forlen anwenden bei geometrischen Reihen?

Guten Tag liebes Forum,

ich bin momentan dabei, die Summen zu berechnen von Aufgaben. Dazu habe ich das Summenzeichen, die Obergrenze und entsprechend die Untergrenze angegeben. Soweit so gut und ich habe einige Dinge jedoch nicht verstanden.

Es gibt: Summen, die begrenz sind und Summen, die keinen Grenzwert haben (geometrische Summen). Nun habe ich diese Formeln:

Formel 1: 1/1-q und

a* a / (1-q) Danke Marc

Antwort
von Forsyth231, 14

Stell doch mal eine konkrete Aufgabe rein

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 7

Ich kann in den Formeln keinen Sinn entdecken. Kannst du sie bitte mal neu angeben, am besten als Gleichung und mit den nötigen Klammern?

Im Grunde genommen braucht man sich nur eine einzige Formel zu merken:

s_n = a_0 (q^n - 1) / (q - 1) = a_0 (1 - q^n) / (1 - q)

wobei man der Übersichtlichkeit halber den ersten Bruch bei q>1 und den zweiten Bruch bei q<1 verwendet.

(die Brüche gehen durch Erweiterung mit -1 auseinander hervor; weiter bedeuten:

s_n = Summe (k = 0 bis n-1) (a_k)

wobei a_k = a_0 q^k

)

Summe (k = m bis n-1) (a_k)   lässt sich berechnen aus

Summe (k = m bis n-1) (a_k) = Summe (k = 0 bis n-1) (a_k) - Summe ( k = 0 bis m-1) (a_k)

bzw (meist leichter):

Summe (k = m bis n-1) (a_k) = Summe (k' = 0 bis n - m - 1) (a'_k)

mit
k' = k - m
a'_k = a_0 q^m q^k',  insbesondere a'_0 = a_0 q^m

Kommentar von StudentHN ,

Tut mir Leid. Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, welche Formel ich für geometrische Reihen verwenden muss. 

a_0 (1 - q^n) / (1 - q)

https://www.youtube.com/watch?v=-D3JTFPMyKA

Auf diesem youtube siehst du ne ganz andere formel.

was muss ich nutzen?

Kommentar von PWolff ,

Kurzform der Antwort:

s_∞ = 1 / (1 - q)

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Stimmt, man kann die von mir angegebenen Formeln noch vereinfachen, indem man a_0 ausklammert.

Das wird dann

s_n = Summe (k = 0 bis n-1) q^n  = (q^n - 1) / (q - 1) = (1 - q^n) / (1 - q)

Das Video bezieht sich auf unendliche Reihen, nicht auf endliche Reihen.

Für q = 1 funktioniert die Formel nicht, da wir dann einen Ausdruck der Form 0/0 erhalten, der nicht definiert ist.

Aber für q = 1 ist a_n = 1, damit ist s_n = n

(Das kommt übrigens als Grenzwert der obigen Formel für q -> 1 raus)

Die andere Möglichkeit, wie |q| = 1 sein kann, ist q = -1

damit bilden die a_n eine "alternierende Folge konstanten Betrages", d. h. für n gerade ist a_n = +1, für n ungerade ist a_n = -1.

Die Summe schwankt damit zwischen 1 und 0 hin und her, was ebenfalls nicht konvergent ist.

Für |q| > 1 geht |q^n| -> ∞ für n -> ∞ und "erschlägt" damit den Summanden -1 im Zähler. Da der Nenner eine Konstante ist, geht |s_n| ebenfalls gegen ∞.

Für |q| < 1 geht |q^n| -> 0 für n -> ∞ und verschwindet in der Grenze gegen den Summanden 1 im Zähler. Damit ist

lim (n -> ∞) (s_n) = (1 - 0) / (1 - q) = 1 / (1 - q)

Deshalb definiert man auch

s_∞ = Summe (k = 0 bis ∞) (q^n)

als diesen Grenzwert, also

s_∞ = 1 / (1 - q)

Das ist die Formel aus dem Video.

(Ich habe allerdings die "Laufvariable" k statt i genannt. Aber da Laufvariablen "gebunden" sind, kann man sie beliebig umbenennen - solange es keine Namenskonflikte gibt)

-----

Im Video führt der Vortragende vor, wie man den umgekehrten Weg geht: vom Funktionsterm zum Summenterm.

Allerdings vergisst er, hier zu erwähnen, dass diese Umwandlung nur (und immer dann) zulässig ist, solange wir sicherstellen, dass |q| < 1 bzw, |x| < 3/8.

(3/8 nennt man deshalb auch "Konvergenzradius" der Reihe.)

Kommentar von StudentHN ,

Okay wir sind schon näher. wenn q kleiner 1 dann nutze ich die formel aus dem video. aber wenn q größer 1 ist, was muss ich dann nutzen?

Kommentar von PWolff ,

Wenn |q| > 1, dann divergiert die Reihe. Aber das wurde auch im Video gesagt.

Einer divergenten Reihe kann man keinen Wert zuweisen.

Ich weiß nicht, wie tief ihr in die Funktionentheorie einsteigt - man kann formal immer noch 1 / (1-q) = -1 / (q-1) als "Summe" der Reihe definieren, aber dann muss man noch ein paar weitere Feinheiten beachten (das würde hier viel zu weit führen).

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 16

woher hast du denn die Formeln?

sorry, aber deine Frage ist nicht zu verstehen.

Kommentar von StudentHN ,

wikipedia

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