Frage von HanzeeDent, 43

Welche dimension hat Rotation?

Kann man Rotationsbewegungen in 2 oder 3 Raumdimensionen zerlegen?

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 5

In einem 3D-Raum gibt es 3 Rotationsfreiheitsgrade. Es wäre aber ein Trugschluss, aus »drei Hauptrichtungen, also drei Rotationsfreiheitsgrade« auf eine Proportionalität zu schließen.

In einer Ebene gibt es nämlich nicht etwa 2, sondern nur einen, denn man rotiert nicht um eine Achse, sondern bloß um einen Punkt.

In einem 4D-Raum gibt es nicht etwa 4, sondern 6 Rotationsfreiheitsgrade, denn dort gibt es immer ganze Ebenen, um die rotiert wird, die also invariant (unverändert) bleiben.

Ein Beispiel für einen solchen 4D-Raum ist unsere Raumzeit, bei der freilich die Zeitkoordinate x₀=ct eine Sonderrolle einnimmt. Deshalb spricht man von einer (1+3)-dimensionalen Raumzeit.
Gleichwohl kann man in der Raumzeit rotieren, was man im Allgemeinen, nämlich dann, wenn sie die x₀-Achse nicht invariant lässt, als Lorentz-Transformation bezeichnet.
Die Sonderrolle von x₀ kommt dadurch zum Ausdruck, dass dort neben den bei Drehungen auftretenden trigonometrischen Funktionen wie cos(φ) auch Hyperbelfunktionen auftreten, also etwa cosh(ς).

Kommentar von HanzeeDent ,

Ich hätte auch beinahe auf ein proportionales Verhältnis geschlossen. Aber ich habe das nochmal modelliert und gesehen, dass 3 Freiheitsgrade vonnöten sind.

Gibt es ein allgemeines Verhältnis zwischen Dimension und Rotationsfreiheitsgraden?

Kommentar von SlowPhil ,

Im d-Dimensionalen Raum sollte es ganz allgemein

½·(d² – d)

Rotationsfreiheitsgrade geben.

Ein Anhaltspunkt dafür ist die Tatsache, dass der »Vektor« |ω> eigentlich ein antisymmetrischer Tensor 2. Stufe ist, also eine

  • d×d-Matrix (deshalb d²),
  • deren Diagonalelemente 0 (deshalb …– d) und
  • je 2 Komponenten Negative voneinander sind (deshalb ½).

Nur für d=3 ist »zufällig«

½(3²–3) = ½(9 – 3) = ½·6 = 3.

Deshalb wird beispielsweise |ω> auch als Pseudovektor bezeichnet.

Antwort
von einfachsoe, 11

Im dreidimensionalen Raum kann man sie logischerweise in 3 Dimensionen zerlegen. Das sind nämlich die Anteile in die drei Raumrichtungen. Dabei kann ein Betrag gleich 0 werden, ist aber noch "vorhanden".

Die Dimension der Rotation perse ist aber zweidimensional. Es muss eine Rotationsachse geben und in diese Richtung dreht sich das Objekt NICHT. Das ist die Richtung in die der Vektor Omega zeigt.

Kommentar von HanzeeDent ,

Daas wollte ich wissen, danke.

Kommentar von Joochen ,

Wenn der Betrag Null ist, dann dreht sich nichts mehr.  Was also meinst Du mit 'noch vorhanden'?

Kommentar von einfachsoe ,

Ich meine, dass er formal vorhanden ist. Es kommt ja immer darauf an, wie du das Koordinatensystem legst. Befindest du dich nicht in dem Bezugssystem des rotierenden Körpers, sondern außerhalb, dann gibt es ja kein absolutes Koordinatensystem. Somit ist die Rotation in drei Dimensionen vorhanden und du kannst den Betrag einer Koordiante eines bestimmeten Koordinatensystems Null setzen (durch gezielter Ausrichtung).

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