Frage von Edzz27, 42

Weißt vielleicht jemand wie man diese aufgaben löst (Ganzrationale Funktionen) Wie geh ich vor 1) f(x)=4x³-13x+6 2) f(x)=4x³-8x²-11x-3?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 16

Hier kannst Du nur eine Nullstelle raten.

In der Regel ist bei solchen Aufgaben mindestens eine Nullstelle ganzzahlig. Zudem ist diese Nullstelle ein Teiler des absoluten Glieds (der Zahl am Ende ohne x).

Probiere also bei Aufgabe 1 die Teiler von 6 durch, also: +-6,+-3,+-2,+-1
Du wirst bei x=-2 zum Erfolg kommen. Jetzt musst Du die Polynomdivision anwenden, indem Du den kompletten Polynom durch (x minus erratene Nullstelle) teilst; d. h. hier durch (x-(-2)=(x+2), also (4x³-13x+6) : (x+2).
Das Ergebnis wird etwas mit x² sein, was Du nun mit der pq-Formel lösen kannst. Somit wirst Du letztendlich alle 3 Nullstellen ermitteln können.

Kommentar von Edzz27 ,

Wie komm ich auf die x=-2 ich hab es versucht mit der table funktion im taschen rechner  herrauszufinden aber es ging nicht. Muss ich nicht das hornerschema benutzen? 

Kommentar von Rhenane ,

Das Hornerschema kannst Du auch erst anwenden, genau wie die Polynomdivision, wenn Du die erste Nullstelle ermittelt hast.

Eine Möglichkeit ohne zu raten wäre ein Näherungsverfahren, wie z. B. das Newtonverfahren. Das wird aber soweit ich weiß nicht in der Schule gelehrt.

Wie ich geschrieben habe, muss eine ganzzahlige (zu erratende) Nullstelle (wenn es denn eine gibt) ein Teiler von 6 sein (in Aufgabe 2 ein Teiler von 3); so musst Du nicht alle Zahlen von z. B. -10 bis +10 durchrechnen.

Probierst Du diese durch, kommst Du bei x=-2 auf:
4 * (-2)³ - 13 * (-2) + 6 = -32 +26 + 6 = 0, d. h. x=-2 ist eine Nullstelle.

Ab nun mit Polynomdivision oder Hornerschema.

Antwort
von gilgamesch4711, 2

  Aber claro doch; dein Beispielpolynom 1) . Schon in der Vorlesung lernt man, dass die Alternative lautet: Entwsder dein Polynom ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner drei Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab; seien wir Optimisten. Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?Entdeckt wurde er wohl im Internet um 1990; meine sämtlichen Entdeckungen zu dem Thema SRN fallen in jene Woche des Jahres 2011, als ich erstmals davon erfuhr.

    Jene Behauptung in wiki allerdings, der SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine dreiste Fälschung dar. Zwei Gegenargumente; warum hat sich der ( triviale ) Irrationalitätsbeweis von wurzel ( 2 ) auf Grund des SRN nicht durchgesetzt?

    Und seltsam; absolut kein Portal scheint zu begreifen, dass die aussage des SRN überhaupt nur Sinn voll ist für primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt; warum? )

   Dein Polynom

   

   f ( x ) := b3 x ³ + b2 x ²  + b1 x + b0          (  1a  )

      b3 = 4 ; b2 = 0 ; b1 = ( - 13 ) ; b0 = 6   (  1b  )

     ist jeden Falls primief. Aha; wieder was gelernt. Wurzeln können nur sein Ganze ( trivial ) , Halbe so wie Viertel. Und hier nun gilt es Schneisen zu schlagen; wir können zeigen, das Viertel völlig ausgeschlossen sind. Woher weiß ich das jetzt auf einmal wieder?

    Eine Entdeckung, die mir beim empirischen Basteln gelang; ein weiterer Nagel auf Gauß seinen Sarg ( mit dem ===> 17-Eck oder " Heptadekugon " )

   Die von einer Nullstelle von ( 1 ) generierte Hornerfolge ist grundsätzlich ganzzahlig

   ( Naa; ist der Beweis des SRN vielleicht doch nicht so trivial, wie mir schon entgegen gebellt wurde? )

   Wir testen auf Viertel; ich könnte eben so gut sagen: Jedes Glied der Horjerfolge ist durch 4 teilbar. Ich breche also ab, so bald diese Teilbarkeitsbedingung verletzt ist. Für  x0 = 1/4 hättest du in ( 1ab )

     p3 ( f ) = 4   (  2a  )

     p2  (  f  ;  1/4  )  =  1/4  p3  +  a2  =  1   (  2b  )   ;  Abbruch

   und entsprechend für x0 = 3/4

    Wir gehen jetzt mit einem Ansatz in das Polynom hinein so, wie wir das bei ===> DGL schon lange gewohnt sind. Und zwar mache ich die kühne Annahme, dass (1 ) nicht nur einen RLF abspaltet, sondern vollständig zerfällt. Ich notiere noch die Normalform von ( 1 )

     f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0    (  3a  )

          a2  =  0  ;  a1  =  (  -  13/4  )  ;  a0  =  3/2    (  3b  ) 

   Es gibt übrigens einen pfiffigen Handshake zwischen Vieta a0 und SRN . Und zwar gehen wir wieder aus von einem primitiven Polynom ( 1ab ) ; die drei Wurzeln seien wie üblich gekürzt:

   x1;2;3  :=  p1;2;3 / q1;2;3  €  |Q    (  4a  ) 

    Dann gelten die drei Gilgamesch pq-Formeln

     p1  p2  p3  =  -  b0  =  (  -  6  )     (  4b  )

     q1  q2  q3  =  b3  =  4     (  4c  ) 

    Als Diskriminante für unseren Ratetest nehmen wir in ( 3b ) Vieta a2

     a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )         (  4d  )

   Als letzten vorbereitenden Schritt müssern wir noch die drei Vorzeichen vergeben; dafür gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( Tröste dich; auch uns Studenten wurde sie vorenthalten. )

    x1  <  0  <  x2  <  =  x3       (  5  )

    So; nach so viel Teorie fangen wir aber wirklich an. Wir raten immer die einzelne negative Wurzel; und zwar zunächst die 4 ganzzahligen Möglichkeiten, wie vom SRN gefordert. x2;3 folgen entsprechend aus ( 4bc )

         x1 = ( - 6 ) ; x2;3 = 1/2 ; a2 = 5       (  6a  ) 

 (*)    x1 = ( - 3 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 2/2       (  6b  ) 

   Wie in der Sprachlehre habe ich die nicht existierende Form ( 6b ) mit einem Stern markiert; stets war in ( 4a ) gekürzte Darstellung voraus gesetzt.

   x1 = ( - 2 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 3/2 ; a2 = 0     (  6c  )   ; ok

(*)    x1 = ( - 1 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 6/2       (  6d  ) 

(*)    x1 = ( - 1 ) ; x2 = 2/2 ; x3 = 3/2       (  6e  ) 

    Jetzt verbleiben noch drei halbzahlige Darstellungen:

     x1 = ( - 3/2 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 2 ; a2 = ( - 1 )     ( 7a )

     x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 1/2 ; x3 = 6 ; a2 = ( - 6 )     ( 7b )

     x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 3/2 ; x3 = 2 ; a2 = ( - 3 )     ( 7c )

   Jetzt ist Endspurt angesagt; in ( 3b ) bleibt noch Vieta a1 zu überprüfen:

   a1  =  x1  (  x2  +  x3  )  +  x2  x3    =    (  8a  )

     =  -  2  (  1/2  +  3/2  )  +  1/2  *  3/2   (  8b  )   ;  ok

Antwort
von Maimaier, 19

http://www.onlinemathe.de/forum/Polynomdivision-815

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